Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой а, его координаты - буквами l, m, n:

а = {l; m; n).

Если известна одна точка М₀ (x₀; у₀; z₀) прямой и направляющий вектор а = {l; m; n}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

(x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁ (x₁; у₁; z₁) и М₂ (х₂; у₂; z₂), имеют вид:

(x - x₁)/ (x₂ - x₁) = (y - y₁)/ (y₂ - y₁) = (z - z₁)/ (z₂ - z₁) (2)

Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); мы получим:

(x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n = t.

Отсюда

Это - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (х₀; y₀; z₀) в направлении вектора а = {l; m; n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, х, у, z - как функции от t; при изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М {х; у; z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t = 0 точка М совпадает с точкой М₀. Скорость ϑ точки М постоянна и определяется формулой

ϑ = √(l² + m² + n²)

1007. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₁ (2; 0; -3) параллельно: 1) вектору а = {2; -3; 5}; 2) прямой (x - 1)/5 = (y + 2)/2 = (z + 1)/-1; 3) оси Ох; 4) оси Оу; 5) оси Oz.

1008. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (1; -2; 1), (3; 1; -1); 2) (3; -1; 0), (1; 0, -3); 3) (0; -2; 3), (3; -2; 1); 4) (1; 2; -4), (-1; 2; -4).

1009. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₁(1; -1; -3) параллельно: 1) вектору а = {2; -3; 4}; 2) прямой (x - 1)/2 = (y + 2)/4 = (z - 1)/0; 3) прямой х = 3t - 1, у = - 2t + 3, z = 5t + 2.

1010. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (3; -1;2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; -2),

1011. Через точки М₁ (-6; 6; -5) и М₂ (12; -6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

1012. Даны вершины треугольника A(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) и С(4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С,

1013. Даны вершины треугольника A(3; -1; - 1), В(1; 2; -7) и С(-5; 14; -3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине С.

1014. Даны вершины треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7) и С(-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

1015. Даны вершины треугольника A(1; -2; -4), В(3; 1; -3) и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

1016. Дана прямая

Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь ее направляющего вектора а. Найти общее выражение проекций на оси координат произвольного направляющего вектора этой прямой.

1017. Дана прямая

Найти разложение по базису i, j, k какого-нибудь ее направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз-ложение по базису i, j, k произвольного направляющего вектора этой прямой.

1018. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₁ (2; 3; -5) параллельно прямой

1019. Составить канонические уравнения следующих прямых:

1020. Составить параметрические уравнения следующих прямых:

1021. Доказать параллельность прямых:

1022. Доказать перпендикулярность прямых:

1023. Найти острый угол между прямыми:

1024. Найти тупой угол между прямыми х = 3t - 2, у = 0, z = - t + 3 и x = 2t - 1, y = 0, z = t - 3.

1025. Определить косинус угла между прямыми:

1026. Доказать, что прямые, заданные параметри-ческими уравнениями х = 2t - 3, у = 3t - 2, z = - 4t + 6 и x = t + 5, y = - 4t - 1, z = t -4, пересекаются.

1027. Даны прямые

(x + 2)/2 = y/-3 = (z - 1)/4, (x - 3)/l = (y - 1)/4 = (z - 7)/2;

при каком значении l они пересекаются?

1028. Доказать, что условие, при котором две прямые

(x - a₁)/l₁ = (y - b₁)/m₁ = (z - c₁)/n₁ и (x - a₂)/l₂ = (y - b₂)/m₂ = (z - c₂)/n₂

лежат в одной плоскости, может быть представлено в следующем виде:

1029. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-1; 2; -3) перпендикулярно к вектору а = {6; -2; -3} и пересекает прямую

(x - 1)/3 = (y + 1)/2 = (z - 3)/-5

1030. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-4; -5; 3) и пересекает две прямые

1031. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями

х = 3t - 7, у = - 2t + 4, z = 3t + 4

x = t + 1, у = 2t - 8, z = - t - 12.

1032. Даны уравнения движения точки М (x; y; z)

х = 3 - 4t, y = 5 + 3t, z = - 2 + 12t.

Определить ее скорость ϑ.

1033. Даны уравнения движения точки М{х; у; z)

х = 5 - 2t, y = -3 + 2t, z = 5 - t.

Определить расстояние d, которое пройдет эта точка за промежуток времени от t₁ = 0 до t₂ = 7.

1034. Составить уравнения движения точки М (х; у; z), которая, имея начальное положение М₀(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора s = {-2; 6; 3} со скоростью ϑ = 21.

1035. Составить уравнения движения точки М (х; у; z) которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки М₁ (-7; 12; 5) до точки М₂ (9; -4; -3) за промежуток времени от t₁ = 0 до t₂ = 4.

1036. Точка М (х; у; z) движется прямолинейно и равно-мерно из начального положения M₀(20; -18; -32) в направлении, противоположном вектору s = {3; -4; -12}; со скоростью ϑ = 26. Составить уравнения движения точки М и определить точку, с которой она совпадает в момент времени t = 3.

1037. Точки М(х; у; z) и N (x; у; z) движутся прямолинейно и равномерно: первая из начального положения M₀(-5; 4; -5) со скоростью ϑ_M = l4 в направлении вектора s = {3; -6; 2}, вторая из начального положения N₀(-5; 16; -6) со скоростью ϑ_N = 13 в направлении, противоположном вектору r = {-4; 12; -3}. Составить уравнения движения каждой из точек и, убедившись, что их траектории пересекаются, найти:

1) точку Р пересечения их траекторий;

2) время, затраченное на движение точки М от M₀ до Р;

3) время, затраченное на движение точки N oт N₀ до Р;

4) длины отрезков М₀Р и N₀P.