Сфера

В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (α; β; γ) и радиус r, определяется уравнением (х - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = r². Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х² + у² + z² = r².

1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

1) сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус r = 9;

2) сфера имеет центр С (5; -3; 7) и радиус r = 2;

3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С (4; -4; -2);

4) сфера проходит через точку A(2; -1; -3) и имеет центр. С (3; -2; 1);

5) точки А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;

6) центром сферы является начало координат, ц плоскость 16x - 14у - 12z + 75 = 0 является касательной к сфере;

7) сфера имеет. центр С (3; -5; -2) и плоскость 2х - у - 3z + 11 = 0 является касательной к сфере;

8) сфера проходит через три точки M₁ (3; 1; -3), М₂(-2; 4; 1) и М₃(-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + y - z + 3 = 0;

9) сфера проходит через четыре точки:

М₁(1; -2; -1), М₂(-5; 10; -1),

M₃(4; 1; 11), М₄(- 8; -2, 2).

1085. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости x + 2y + 2z - 3 = 0 в точке М₁(1; 1; -3).

1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей Зx + 2y - 6z - 15 = 0, Зх + 2y - 6z + 55 = 0.

1087. Сфера, центр которой лежит на прямой

касается плоскостей х + 2у - 2z - 2 = 0, х + 2y - 2z + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.

1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x - Зу - 2z - 35 = 0, 6x - - Зу - 2z + 63 = 0, причем одной из них в точке M₁ (5; -1; -1).

1089. Составить уравнение сферы с центром С (2, 3; - 1), которая отсекает от прямой

хорду, имеющую длину, равную 16.

1090. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:

1) (x - 3)² + (y + 2)² + (z - 5)² = 16;

2) (x + 1)² + (y - 3)² + z² = 9;

3) x² + y² + z² - 4x - 2у + 2z - 19 = 0;

4) х² + y² + z² - 6z = 0;

5) x² + у² + z² + 20у = 0.

1091. Составить параметрические уравнения диаметра сферы x² + y² + z² + 2х -6y + z - 11 = 0, перпендикулярного к плоскости 5x - y + 2z - 17 = 0.

1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы х² + y² + z² - х + 3y + z - 13 = 0, параллельного прямой х = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4t + 7,

1093. Установить, как расположена точка A (2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер - внутри, вне или на поверхности:

1) (х - 3)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 4;

2) (х + 14)² + (y - 11)² + (z + 12)² = 625;

3) (х - 6)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 25;

4) х² + y² + z² - 4х + 6y - 8z + 22 = 0;

5) х² + y² + z² - х + Зу - 2z - 3 = 0.

1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:

а) А (-2; 6; -3), х² + y² + z² = 4;

б) А (9; -4; -3), х² + у² + z² + 14х - 16y - 24z + 241 = 0;

в) A(1; -1; 3), х² + y² + z² - 6х + 4y - 10z - 62 = 0.

1095. Определить, как расположена плоскость относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:

1) z = 3, х² + y² + z² - 6х + 2y - 10z + 22 = 0;

2) y = 1, х² + y² + z² + 4х - 2y - 6z + 14 = 0;

3) х = 5, х² + y² + z² - 2х + 4y - 2z - 4 = 0.

1096. Определить, как расположена прямая относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:

1) х = -2t + 2, y = 3t - 7/2, z = t - 2,

х² + y² + z² + х - 4y - 3z + 1/2 = 0;

2) (x - 5)/3 = y/2 = (z + 25)/-2,

x² + y² + z² - 4х - 6y + 2z - 67 = 0;

1097. На сфере (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 23 найти точку М₁, ближайшую к плоскости 3x - 4z + 19 = 0, и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой плоскости.

1098. Определить центр С и радиус R окружности

1099. Точки A(3; -2; 5) и B(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.

1100. Точка С (1; -1; -2) является центром,окружности, отсекающей от прямой

хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.

1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М₁ (3; - 1; -2), М₂(1; 1; -2) и М₃(-1; 3; 0).

1102. Даны две сферы

(х - m₁)² + (у - n₁)² + (z - p₁)² = = R₁²,

{х - m₂)² + (у - n₂)² + (z - p₂)² = R₂²,

которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости τ. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость τ могут быть представлены уравнением вида

α | (х - m₁)² + (у - n₁)² + (z - р₁)² - R₁²] + β [(x - m₂)² + (y - n₂)² + (z - р₂)² - R₂²] = 0

при надлежащем выборе чисел α и β.

1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер:

2х² + 2y² + 2z² + Зх - 2у + z - 5 = 0,

х² + у² + z² - х + 3у - 2z + 1 = 0.

1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность

1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

и точку A (2; -1; 1).

1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:

1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х² + у² + z² = 49 в точке М₁ (6; -3; -2).

1108. Доказать, что плоскость 2х - 6у + 3z - 49 = 0 касается сферы х² + у² + z² = 49. Вычислить координаты точки касания.

1109. При каких значениях а плоскость х + y + z = а касается сферы х² + y² + z² = 12.

1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х - 3)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 24 в точке М₁ (-1; 3; 0).

1111. Точка М₁ (x₁; y₁; z₁) лежит на сфере x² + y² + z² = r²Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.

1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах + Ву + Cz + D = 0 касается сферы х² + у² + z² = R².

1113. Точка М₁(x₁; у₁; z₁) лежит на сфере (х - α)² + {у - β)² + (z - γ)² = r². Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М

1114. Через точки пересечения прямой х = 3t - 5, у = 5t - 11, z = -4t + 9 и сферы (х + 2)² + (у - 1)² + (z + 5)² = 49 проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.

1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x² + y² + z² = 9 и параллельных плоскости х + 2y - 2z + 15 = 0.

1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере (x - З)² + {у + 2)² + (z - 1)² = 25 и параллельных плоскости 4x + 3z - 17 = 0.

1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x² + y² + z² - 10х + 2y + 26z - 113=0 и параллельныx прямых (x + 5)/2 = (y - 1)/-3 = (x + 13)/2 , (x + 7)/3 = (y + 1)/-2 = (z - 8)/0

1118. Доказать, что через прямую

можно провести две плоскости, касательные к сфере х² + y² + z² + 2x - 6y + 4z - 15 = 0, и составить их уравнения.

1119. Доказать, что через прямую (x + 6)/2 = у + 3 = z + 1 нельзя провести плоскость, касательную к сфере x² + y² + z² - 4х + 2у - 4z + 4 = 0.

1120. Доказать, что через прямую х = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х² + у² + z² - 2х + 6y + 2z + 8 = 0, и составить ее уравнение.