Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, b, с суть полуоси эллипсоида (рис. 47). Если все они

различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие- нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а = b, то осью вращения будет Oz. При а = b < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а = b > с- сжатым. В случае, когда а - b = с, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:

x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1, (2)

x²/a² + y²/b² - z²/c² = - 1, (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двухдолостным (рис. 49); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины а, b, с

называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и Ь) показаны на рис. 48. В случае двухполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна' из них (именно, с) показана на рис. 49. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при а = b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:

x²/p + y²/q = 2z (4)

x²/p + y²/q = 2z (5)

где р и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 50); параболоид, определяемый уравнением (5),- гиперболическим (рис. 51). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. 6 случае, когда р = q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой α. Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть M - произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости α, М₀- основание перпендикуляра, опущенного на плоскость α из точки М. Переместим точку М по прямой MM₀ в новое положение М' так, чтобы имело место равенство

M₀M' = q M₀M

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости α, где она была первоначально (рис. 52). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости α; точки, которые расположены на плоскости α, оставим на

своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости α, переместятся; при этом расстояние каждой точки от плоскости α изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости α; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях составят поверхность F'. Будем говорить, что поверхность F' получена из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения.

Пример. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

может быть получен из сферы

x² + y² + z² = a²

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициентом сжатия q₁ = c/a и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия q₂ = b/a

Доказательство. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Оху с коэффициентом q₁ = c/a - и пусть M' (x'; у'z') - точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; z). Выразим координаты х', у', z' точки M' через координаты х, у, z точки М. Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху, то x' = х, у' = y . С другой стороны, так как расстояние от точки М' до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости, помноженному на число q₁ = c/a то z' = c/a z.

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

х' = х, у' = у, z' = c/a z, (6)

или

х = х', у = y' z = a/c z'. (7)

Предположим, что М (х; у; z) произвольная точка сферы

х² + у² + z² = а².

Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); мы получим:

x'² + y'² = a²]/c²z'² = a²

откуда

x'²/a² + y'²/a² + z'²/c² = 1.

Следовательно, точка M' (х'; у'; z') лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам:

x' = x", y' = a/b y", z' = z";

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостиый гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Однополостиый гиперболоид

x²/a² + y²/a² - z²/c² = 1

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

где α и β - некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

x²/p - y²/q = 2z

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

Конической поверхностью, или конусом» называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

1153. Установить, что плоскость х - 2 = 0 пересекает эллипсоид x²/16 + y²/12 + z²/4 = 1 по эллипсу; найти его полуоси и вершины.

1154. Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает однополостный гиперболоид x²/32 + y²/18 + z²/2 = 1 по гиперболе; найти ее полуоси и вершины.

1155. Установить, что плоскость у + 6 = 0 пересекает гиперболический параболоид x²/5 - y²/4 = 6z по параболе; найти ее параметр и вершину.

1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида у² + z² = x плоскостью х + 2у - z = 0

1157. Установить, какая линия является сечением эллипсоида x²/12 + y²/4 + z²/3 = 1 плоскостью 2х - 3y + 4z - 11 = 0, и найти ее центр.

1158. Установить, какая линия является сечением гиперболического параболоида x²/2 - z²/3 = y плоскостью Зx - Зy + 4z + 2 = 0, и найти ее центр.

1159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

и найти центр каждой из них.

1160. Установить, при каких значениях m плоскость х + mz - 1 = 0 пересекает двухполостный гиперболоид х² + y² - z² = - 1 а) по эллипсу, б) по гиперболе.

1161. Установить, при каких значениях т плоскость х + mу - 2 = 0 пересекает эллиптический параболоид x²/2 + z²/3 = y а) по эллипсу, б) по параболе.

1162. Доказать, что эллиптический параболоид x²/9 + z²/4 = 2y имеет одну общую точку с плоскостью 2x - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.

1163. Доказать, что двухполостный гиперболоид x²/3 + y²/4 - z²/25 = -1 имеет одну общую точку с плоскостью 5x + 2z + 5 = 0, и найти ее координаты.

1164. Доказать, что эллипсоид x²/81 + y²/36 + z²/9 = 1 имеет одну общую точку с плоскостью 4x - 3y + 12я - 54 = 0, и найти ее координаты.

1165. Определить, при каком значении m плоскость х - 2у - 2z + m = 0 касается эллипсоида x²/144 + y²/36- z²/9 = 1 .

1166. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору n = {2; -1; -2} и касающейся эллиптического параболоида x²/3 + y²/4 = 2z.

1167, Провести касательные плоскости к эллипсоиду 4x² + 16у² + 8z² = 1 параллельно плоскости х - 2у + 2z + 17 = 0; вычислить расстояние между найденными плоскостями.

1168. Коэффициент равномерного сжатия пространства к плоскости Oyz равен 3/5. Составить уравнение поверхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфера х² + y² + z²= 25.

1169. Составить уравнение поверхности, в которую преобразуется эллипсоид х² /64 + х²/25 + z²/16 = 1 при трех последовательных равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия к плоскости Оху равен 3/4, к плоскости Oxz равен 4/5 и к плоскости Oyz равен 3/4.

1170. Определить коэффициенты q₁ и q₂ двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям Оху, Oxz, которые преобразуют сферу х² + у² + z² = 25 в эллипсоид х² /25 + х²/16 + z²/4 = 1.

1171. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса у²/b² + z²/cу²= 1, x = 0 вокруг оси Оу.

Решение*). Пусть М (х; у, z) - произвольная точка пространства, С - основание перпендикуляра, опущенного из точки М

на ось Оу (рис. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть, переведен а в плоскость Oyz; в этом расположении обозначим ее N (0; Y; Z). Так как CM = CN и СМ = √( х² + z²),

*) Задача 1171 решена здесь как типовая.

CN= |Z|, тo

|Z| = √( х² + z²) (1)

Кроме того, очевидно, что

Y = у. (2)

Точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т. е.

Y²/b² + Z²/c² = 1. (3)

принимая во внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем уравнение для координат точки M:

y²/b² + (x² + z²)/c² = 1. (4)

Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только в том случае, когда точка M лежит на рассматриваемой поверхности вращения. Следовательно, уравнение (4) и есть искомое уравнение этой поверхности.

1172. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса x²/a² + z²/c² = 1, z = 0 вокруг оси Ох.

1173. Составить уравнение поверхности, образован- ной вращением гиперболу x²/a² - z²/c² = 1 y = 0 вокруг оси Oz.

1174. Доказать, что трехосный эллипсоид, определяемый уравнением x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 может быть получен в результате вращения эллипса x²/a² + y²/b² вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.

1175. Доказать, что однополостиый гиперболоид, определяемый уравнением x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1 может быть получен в результате вращения гиперболы x²/a² - z²/c² = 1, y = 0 вокруг оси Oz и последующего равно мерного сжатия пространства к плоскости Oxz.

1176. Доказать, что двухполостный гиперболоид, определяемый уравнением x²/a² + y²/b² - z²/c² = -1 может быть получен в результате вращения гиперболы z²/c² - x²/a² = 1, у = 0 вокруг оси 0z и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.

1177. Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый уравнением x²/p + y²/q = 2z, может быть получен в результате вращения параболы x² = 2pz, у = 0 вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.

1178. Составить уравнение поверхности, образованной движением параболы, при условии, что эта парабола все время остается в плоскости, перпендикулярной к оси Оу, причем ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной уравнениями y² = -2qz, x = 0. Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями х²= 2pz, y = 0.-

1179. Доказать, что уравнение z = xy определяет гиперболический параболоид.

1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой:

1181. Доказать, что плоскость 2х - 12у - z + 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид x² - 4y² = 2z по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.

1182. Доказать, что плоскость 4x - 5у - 10z - 20 = 0 пересекает однополостный гиперболоид x²/25 + y²/16 - z²/4 = 1 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.

1183. Убедившись, что точка М( 1; 3; -1) лежит на гиперболическом параболоиде 4х² - z² = y, составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих через М.

1184. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида х²/4 + х²/9 - z²/16 = 1, параллельных плоскости 6x + 4у + 3z - 17 = 0.

1185. Убедившись, что точка А (-2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболоиде х²/4 - х²/9 = z, определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.

1186. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями:

1187. Доказать, что уравнение z² = xy определяет конус с вершиной в начале координат.

1188. Составить уравнение конуса с вершиной в на-чале координат, направляющая которого дана уравнениями х² - 2z + 1 - 0, у - z + 1 = 0.

1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0; 0; с), направляющая которого дана уравнениями х²/a² + y²/b² = 1, z = 0.

1190. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке (3; -1; -2), а направляющая дана уравнениями х² + у² - z² = 1, x - y + z = 0.

1191. Ось Oz является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, точка М₁(3; -4; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.

1192. Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в начале координат; его образующие наклонены под углом в 60° к оси Оу. Составить уравнение этого конуса.

1193. Прямая (x - 2)/2 = (y + 1)/-2 = (z + 1)/-1 является осью круглого конуса, вершина которого лежит на плоскости Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что точка M₁(l; 1; -5/2) лежит на его поверхности.

1194. Составить уравнение круглого конуса, для которого оси координат являются образующими.

1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S (5; 0; 0), образующие которого касаются сферы х² + у² + z² = 9.

1196. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются сферы (x + 2)² + (/y - l)²+ (z - 3)² = 9.

1197. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(3;0; -1), образующие которого касаются эллипсоида х²/6 + y²/2 + z²/3 = 1.

1198. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору l = {2; -3; 4}), а направляющая дана уравнениями х² + у² = 9, z = 1.

1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями x² - y² = z, х + у + z = 0, а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.

1200. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости х + у - 2z - 5 = 0, описан около сферы х² + у² + z² = 1. Составить уравнение этого цилиндра.

1201. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой х = 2t - 3, y = -t + 7, z = -2t + 5, описан около сферы х² + у² + z² - 2х + 4у + 2z - 3 = 0. Составить уравнение этого цилиндра.

1202. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку S (2; -1; 1), если его осью служит прямая x = 3t + l, у = - 2t - 2, z = t + 2.

1203. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер: (х - 2)² + {у - l)² + z² = 25, х² + у² + z² = 25.