Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике

В дальнейшем символ М (r) означает, что r есть радиус-вектор точки M.

1121. Составить уравнение плоскости α, которая проходит через точку М₀(r₀) и имеет нормальный вектор n.

Решение*). Пусть М(r) - произвольная точка. Она лежит в плоскости α в том и только в том случае, когда вектор M₀M перпендикулярен к n. Признаком перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Таким образом, M₀M ⊥ n в том и только в том случае, когда

M₀M • n = 0 (1)

Выразим вектор M₀M через радиусы-векторы его конца и начала:

M₀M = r - r₀

Отсюда и из (1) находим:

(r - r₀)n = 0. (2)

Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости а [r называется текущим радиусом- вектором уравнения (2)].

1122. Доказать, что уравнение rn + D = 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору n. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что n = {A, В, С}.

1123. Даны единичный вектор n⁰ и число р > 0. Доказать, что уравнение rn⁰ - р = 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору n⁰, и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что вектор n⁰ образует с координатными осями углы α, β и γ

1124. Вычислить расстояние d от точки M₁ (r₁) до плоскости rn⁰ - р = 0. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что r₁ = {x₁; y₁; z₁}, n⁰ = {cosα; cosβ; cosγ}.

1125. Даны две точки M₁(r₁) и М₂(r₂). Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁ перпендикулярно к вектору M₁M₂. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что r₁ = {x₁; y₁; z₁}, r₂ = {x₂; y₂; z₂}.*

1126. Составить уравнение плоскости, которая про-ходит через точку М₀(r₀) параллельно векторам a₁ и а₂. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, а₁ = {l₁;m₁;n₁} a₂ = {l₂;m₂;n₂}

1127. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(r₁), М₂(r₂) и М₃(r₃). Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, r₂ = {х₂; y₂; z₂}, r₃ = {х₃; y₃; z₃}.

1128. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(r₀) перпендикулярно к плоскостям: rn₁ + D₁ = 0, rn₂ + D₂ = 0. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}; n₁ = {A₁; В₁; C₁}, n₂ = {А₂; В₂; С₂}.

1129. Доказать, что уравнение [(r - r₀)а] = 0 определяет прямую, которая проходит через точку М₀(r₀) параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М(r) в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М (r). Пусть r удовлетворяет данному уравнению; по правилу вычитания векторов r - r₀ = M₀M; так как [(r - г0) а] = 0, то [М0Ма] = 0; следовательно, вектор Af0M коллинеареи вектору а. Значит, точка М действительно лежит на прямой, которая проходит через Мо в направление вектор а а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой. Тогда M₀M коллинеарен а. Следовательно, [M₀M_a] = 0; но M₀M = r - r₀; отсюда [(r - r₀)а ] = 0. Итак, заданному уравнению удовлетворяет радиус-вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой (r называется текущим радиус-вектором уравнения).

1130. Доказать, что уравнение [ra] = m определяет прямую, параллельную вектору а.

1131. Доказать, что параметрическое уравнение r = г₀ + at где t - переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку М₀(г₀) (т. е. при изменении t точка М(r) движется по указанной прямой). Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, a = {l; m; n).

1132. Прямая проходит через две точки: М₁ (r₁) и М₂(r₂). Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131.

1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (r₁) перпендикулярно к прямой r = r₀ - at. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что r₁ = {х₁; y₁; z₁} а = {l; m; n}.

1134. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(r₀) параллельно прямым [ra₁] = m₁, [ra₂] = m₂.

1135. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(r₀) перпендикулярно к плоскостям rn₁ + D₁ = 0, rn₂ + D₂ = 0.

1136. Прямая проходит через точку М₀(r₀) перпендикулярно к плоскости rn + D = 0. Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, a = {A; В; С}.

1137. Прямая проходит через точку М₀(r₀) параллельно плоскостям rn₁ + D₁ = 0, rn₂ + D₂ = 0. Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, n₁ = {A₁; В₁; С₁}, n₂ = {A₂; В₂; С₂}.

1138. Вывести условие, при котором прямая r = r₀ + at лежит на плоскости rn + D = 0. Написать это условие также в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀} , a = {l; m; n}, n = {A; В; С}.

1139. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r₀ + a₁t параллельно прямой [ra₂] = m.

1140. Вывести условие, при котором две прямые r = r₁ + a₁t и r = r₂ + a₂t лежат в одной плоскости.

1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r = r₀ + at и плоскости rn + D = 0. Вычислить также координаты x, у, z точки пересечения при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}. a = {l; m; n}, n = {A; B; С}.

1142. Найти радиус-вектор проекции М₁(r₁) на плоскость rn + D = 0. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции при условии, что r₁ = {х₁; y₁; z₁} n = {A; В; С}.

1143. Найти радиус-вектор проекции точки М₁ (r₁) на прямую r = r₀ + at. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции при условии, что r₁ = {х₁; y₁; z₁} r₀ = {х₀; y₀; z₀}, a = {l; m; n}.

1144. Вычислить расстояние d точки М₁ (г₁) от прямой r = r₀ + at. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что r₁ = {х₁; y₁; z₁}, r₀ = {х₀; y₀; z₀}, a = {l; m; n}.

1145. Вычислить кратчайшее расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми: r = r₁ + a₁t и r = r₂ + a₂t. Выразить расстояние d также в координатах при условии, что

r₁ = {х₁; y₁; z₁} , r₂ = {х₂; y₂; z₂}

a₁ = {l₁; m₁; n₁}, a₂ = {l₂; m₂; n₂}

1146. Доказать, что уравнение (r - r₀)² = R² определяет сферу с центром С(r₀) и радиусом, равным R (т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус- вектор r точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).

1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой r = at и сферы r² = R². Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что а = {l; m; n}.

1148. Найти радиусы-векторы точек пересечения прямой r = r₀ + at и сферы (r - r₀)² = R². Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что r₀ ={х₀; y₀; z₀}, а = {l; m; n}.

1149. Точка М₁(r₁) лежит на сфере (r - r₀)² = R². Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М,.

1150. Составить уравнение сферы, которая имеет центр С (r₁) и касается плоскости rn + D = 0. Написать уравнение этой сферы также в координатах при условии, что r₁ = {х₁; y₁; z₁}, n = {A; B; С}.

1151. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере r² = R² и параллельных плоскости rn + D = 0. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что n = {A; В; С}.

1152. Через точки пересечения прямой r = r₀ + аt и сферы (r - r₀)² = R² проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что r₀ = {х₀; y₀; z₀}, а = {l; m; n}.