Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой

1038. Доказать, что прямая х = 3t - 2, у = - 4t + 1, z = 4t - 5 параллельна плоскости 4х - Зу - 6z - 5 = 0.

1039. Доказать, что прямая

лежит в плоскости 4х - Зу + 7z - 7 = 0.

1040. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) (x - 1)/1 = (y + 1)/-2 = z/6, 2х + 3у + z - 1 = 0;

2) (x + 3)/3 = (y - 2)/-1 = (z + 1)/-5, x - 2y + z - 15 = 0;

2) (x + 2)/-2 = (y - 1)/3 = (z - 3)/2, x + 2y - 2z + 6 = 0.

1041. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2; -4; -1) и середину отрезка прямой

заключенного между плоскостями 5x + 3у - 4x + 11 = 0, 5х + 3y - 4z - 41 = 0.

1042. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М₀( 2; -3; -5) перпендикулярно к плоскости 6x - 3y - 5z + 2 = 0.

1043. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1; -1; -1) перпендикулярно к прямой (х + 3)/2 = (у - 1)/-3 = (z + 2)/4.

1044. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1; -2; 1) перпендикулярно к прямой

1045. При каком значении m прямая (х + 1)/3 = (y - 2)/4 = (z + 3)/-2 параллельна плоскости х - Зу + 6z + 7 = 0 ?

1046. При каком значении С прямая

параллельна плоскости 2x - у + Cz - 2 = 0?

1047. При каких значениях А и D прямая x = 3 + 4t, y = 1 - 4t, z = -3 + t лежит в плоскости Ах + 2у - 4z + D = 0?

1048. При каких значениях А и В плоскость Ах + By + 3z - 5 = 0 перпендикулярна к прямой x = 3 + 2t, y = 5 - 3t,z = - 2 - 2t?

1049. При каких значениях l и С прямая (x - 2)/l = (y + 1)/4 = (z - 5)/-3 перпендикулярна к плоскости 3x - 2y + Cz + 1 = 0 ?

1050. Найти проекцию точки Р{2; - 1; 3) на прямую x = 3t, у = 5t - 7, z = 2t + 2.

1051. Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно прямой

1052. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; -5; 7) относительно прямой, проходящей через точки М₁ (5; 4; 6) и М₂ (-2; -17; -8).

1053. Найти проекцию точки Р(5; 2; -1) на плоскость 2х - у + 3z + 23 = 0.

1054. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; -4) относительно плоскости Зх + у - 2z = 0.

1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А (-1; 2; 5) и В (11; -16; 10) была бы наименьшей.

1056. На плоскости Oxz найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек M₁ (3; 2; -5) и М₂ (8; -4; -13) была бы наибольшей.

1057. На плоскости 2х - 3у + 3z - 17 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(3; -4; 7) и В(-5; -14; 17) была бы наименьшей.

1058. На плоскости 2х + Зу - 4z - 15=0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек M₁ (5; 2; -7) и М₂(7; -25; 10) была бы наибольшей.

1059. Точка М{х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M₀(15; -24; -16) со скоростью ϑ = 12 в направлении вектора s = {-2; 2; 1}. Убедившись, что траектория точки М пересекает плоскость Зх + 4y + 7z - 17 = 0, найти:

1) точку Р их пересечения;

2) время, затраченное на движение точки М от М₀ До Р;

3) длину отрезка M₀P.

1060. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и равномерно изначального положения М₀(28;- 30; -27) со скоростью ϑ = 12,5 по перпендикуляру, опущенному из точки М₀ на плоскость 15x - 16у - 12z + 26 = 0. Составить уравнения движения точки М и определить:

1) точку Р пересечения ее траектории с этой плоскостью;

2) время, затраченное на движение точки М от М₀ до Р;

3) длину отрезка М₀Р.

1061. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М₀(11; -21; 20) в направлении вектора s = {- 1; 2; -2} со скоростью ϑ = 12. Определить, за какое время она пройдет отрезок своей траектории, заключенный между параллельными плоскостями: 2х + Зу + 5z - 41 = О, 2х Зу + 5z + 31 = 0.

1062. Вычислить расстояние d точки Р (1; -1; -2) от прямой

(x + 3)/3 = (y + 2)/2 = (z - 8)/-2.

1063. Вычислить расстояние d от точки Р{2; 3; - 1) до следующих прямых:

1) (x - 5)/3 = y/2 = (z + 25)/-2.

2) x = t + 1, y = t + 2, z = 4t+ 13;

1064. Убедившись, что прямые

параллельны, вычислить расстояние d между ними.

1065. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 2; -3) параллельно прямым

(x - 1)/2 = (y + 1)/ -3 = (z - 7)/3, (x + 5)/3 = (y - 2)/ -2 = (z + 3)/-1

1066. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀; y₀; z₀) параллельно прямым

(x - a₁)/l₁ = (y - b₁)/m₁ = (z - c₁)/n₁, (x - a₂)/l₂ = (y - b₂)/m₂ = (z - c₂)/n₂

может быть представлено в следующем виде:

1067. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(х₂; y₂; z₂) параллельно прямой

(x - a)/l = (y - b)/m = (z - c)/n,

может быть представлено в следующем виде:

1068. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 2t + 1, y = - 3t + 2 z = 2t - 3 и точку M₁ (2; -2; 1).

1069. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt и точку М₁{х₁; y₁; z₁), может быть представлено в следующем виде:

1070. Доказать, что прямые

(x - 1)/2 = (y + 2)/-3 = (z - 5)/4,

x = 3t + 7, y = 2t + 2, z = -2t + 1

лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.

1071. Доказать, что если две прямые

(x - a₁)/l₁ = (y - b₁)/m₁ = (z - c₁)/n₁, (x - a₂)/l₂ = (y - b₂)/m₂ = (z - c₂)/n₂

пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они лежат, может быть представлено в следующем виде:

1072. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

(x - 2)/3 = (y + 1)/2 = (z - 3)/-2, (x - 1)/3 = (y - 2)/2 = (z + 3)/-2.

1073. Доказать, что уравнение плоскости, проходя- щей через две параллельные прямые x = a₁ + lt, y = b₁ + mt, z = c₁ + nt и х = a₂ +lt, y = b₂ + mt, z = c₂ + nt, может быть представлено в следующем виде:

1074. Найти проекцию точки С(3; -4; -2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые

(x - 5)/13 = (y - 6)/1 = (z + 3)/-4, (x - 2)/13 = (y - 3)/1 = (z + 3)/-4.

1075. Найти точку Q, симметричную точке Р(3;-4; -6) относительно плоскости, проходящей через M₁(-6; 1; -5), М₂(7; -2; -1) и М₃(10; -7; 1).

1076. Найти точку Q, симметричную точке Р (-3; 2; 5) относительно плоскости, проходящей через прямые

1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 3t + 1, y = 2t + 3, z = - t - 2 параллельно прямой

1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую (х - x₁)/l₁ = (y - y₁)/m₁ = (z - z₁)/n₁, параллельно пря мой x = x₀ + lt, у = у₀ + mt, z = z₀ + nt, может быть представлено в следующем виде:

1079. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую (x - 1)/2 = (y + 2)/-3 = (z - 2)/2 перпендикулярно к плоскости Зх + 2у - z - 5 = 0.

1080. Доказать, что уравнение плоскости, проходяшей через прямую x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt перпендикулярно к плоскости Ах + By + Cz + D = 0, может быть представлено в следующем виде:

1081. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку M₀(3; -2; -4) параллельно плоскости Зx - 2у - 3z - 7 = 0 и пересекает прямую (x - 2)/3 = (y + 4)/-2 = (z - 1)/2

1082. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям Зx + 12y - 3z - 5 = 0, 3x - 4у + 9z + 7 = 0 и пересекает прямые (x + 5)/2 = (y - 3)/-4 = (x + 1)/3, (x - 3)/-2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/4

1083. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1) (x + 7)/3 = (y + 4)/4 = (z + 3)/-2; (x - 21)/6 = (y + 5)/-4 = (z - 2)/-1;

2) x = 2t - 4, y = - t + 4, z = -2t - 1;

х = 4t - 5, y = -3t + 5, z = -5t + 5;

3) (x + 5)/3 = (y + 5)/2 = (z - 1)/-2;

х = 6t + 9, у = - 2t, z - - t + 2.