Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени:

при условии, что коэффициенты A₁, В₁, С₁ первого из них не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂ второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (1) и α и β - какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

α(А₁x + В₁у + C₁z + D₁) + β(А₂х + В₂у + С₂z + D₂) = 0 (2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел α, β можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

Если α ≠ 0, то, полагая β/α = λ, уравнение (2) можно привести к виду

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ + λ (А₂x + В₂у + C₂z + D₂)= 0. (3)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2). однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует а = 0, т. е. за исключением плоскости A₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0.

982. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 5x - 7y + 2z - 3 = 0 с координатными плоскостями.

983. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3x - y - 7z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точки E(3; 2; -5).

984. Найти точки пересечения прямой

с координатными плоскостями.

985. Доказать, что прямая

пересекает ось Оу.

986. Определить, при каком значении D прямая

пересекает: 1) ось Ох; 2) ось Оу; 3) ось Oz.

987. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой

для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Oz.

988. Найти соотношения, которым должны удовле-творять коэффициенты уравнений прямой

для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс;2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью апликат.

989. В пучке плоскостей 2x - 3y + z - 3 + λ(x + 3y + 2z + 1) = 0 найти плоскость, которая: 1) проходит через точку М,(1; -2;3); 2) параллельна оси Ох; 3) параллельна оси Оу; 4) параллельна оси Oz.

990. Составить уравнение плоскости, которад про-ходит через прямую пересечения плоскостей Зх - у + 2z + 9 = 0, х + z - 3 = 0: 1) и через точку М₁ (4; -2; -3); 2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4) параллельно оси Oz.

991. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 2х - у + 3z - 5 = 0, х + 2у - z + 2 = 0 параллельно вектору l = {2; - 1; -2}.

992. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 5х - 2y - z - 3 = 0, х + Зу - 2z + 5 = 0 параллельно вектору l = {7; 9; 17}.

993. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей Зх - 2у + z - З = 0, х - 2z = 0 перпендикулярно плоскости х - 2y + 2 + 5 = 0.

994. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости х + 19y - 7z - 11 = 0.

995. Составить уравнение плоскости, которая прохо-дит через прямую пересечения плоскостей 2х + y - z + 1 = 0, х + y + 2z + 1 = 0 параллельно отрезку, ограниченному точками M₁(2; 5; -3) и М₂(3; -2; 2).

996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей α(Зх - 4y + z + 6) + β (2х - 3y + z + 2) = 0 и равноудаленной от точек М₁(З; -4; -6), М₂(1; 2; 2).

997. Определить, принадлежит ли плоскость 4х - 8y + 17z - 8 = 0 пучку плоскостей α (5х - у + 4z - 1) + β (2х + 2у - 3z + 2) = 0.

998. Определить, принадлежит ли плоскость 5х - 9у - 2z + 12 = 0 пучку плоскостей α(2х - 3у + z - 5) + β(х - 2у - z - 7) = 0.

999. Определить, при каких значениях l и m плоскость 5х + lу + 4z + m = 0 принадлежит пучку плоскостей α (Зх - 7у + z - 3) + β(х - 9y - 2z + 5) = 0.

1000. Написать уравнение плоскости, которая при-надлежит пучку плоскостей α (х - Зу + 7z + 36) + β(2х + у - z - 15) = 0 и отстоит от начала координат на расстоянии р = 3.

1001. Написать уравнение плоскости, которая при-надлежит пучку плоскостей α(10х - 8у - 15z + 56) + β (4х + y + 3z - 1) = 0 и отстоит от точки С (3; -2; -3) на расстоянии d = 7.

1002. Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей α(4x + 13у - 2z - 60) + β (4x + 3у + 3z - 30) = 0 и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6 кв. ед.

1003. Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую

на координатные плоскости.

1004. Составить уравнения проекций прямой

на координатные плоскости.

1005. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую

на плоскость х + 2у + 3z - 5 = 0.

1006. Составить уравнения проекции прямой

на плоскость 2х - у + 2 - 1 = 0.