Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а₁, а₂, b₁, b₂:

Число а₁b₂ - а₂b₁ называется определителем второго порядка, соответствующим таблице (1). Этот опредеяитель обозначается символом соответственно имеем:

Числа а₁, а₂, b₁, b₂ называются элементами определителя. Говорят, что элементы а₁, b₂ лежат на главной диагонали определителя, а₂, b₁ - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

Рассмотрим систему двух уравнений

с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты а₁, b₁, а₂, b₂ и свободные члены hXi h2 предположим данными.) Введем обозначения

Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель Δ_x получается путем замены элементов первого столбца определителя Δ свободными членами системы (3); определитель Δ_y получается из определителя Δ при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если Δ ≠ 0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

x = Δ_x/Δ , y = Δ_y/Δ (5)

Если Δ = 0 и при этом хотя бы один из определителей Δ_x, Δ_y отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же Δ = 0, но также Δ_x = Δ_y = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3)h₁ = h₂ = 0; тогда система (3) будет иметь вид:

a₁x + b₁y = 0, a₂x + b₂y = 0. (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: x= 0, у = 0. Если Δ ≠ О, то это решение является единственным если же Δ = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

1204. Вычислить определители:

1205. Решить уравнения:

1206. Решить неравенства:

1207. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:

1208. Определить, при каких значениях а и b система уравнений Зх - ау = 1, 6х + 4у = b 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.

1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений 13x + 2у = 0, 5x + ау = 0 имеет ненулевое решение.