Парабола

Теория

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс, и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

Рис 8.2.Парабола

чина ε. При 0 < ε < 1 получается эллипс, а при ε > 1 — гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы. Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директрисой параболы. При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы. Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Рис 8.3.	Парабола

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные — каноническими.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы.

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = — p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Геометрическое место точек M(x; y)

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

y2 = 2px (8.3)

которое называют каноническим уравнением параболы.

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае — эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = — 1 — уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство. Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Рис 8.4.	Парабола