Преобразование координат

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х' + а,

y = y' + b.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' - координаты той же точки относительно новых осей, а, b - координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, Ь - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол α (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

х = х' cosα - у' sinα,

у = х' sinα + y' cosα.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

х = х' cosα - у' sinα, + a,

у = х' sinα + y' cosα. + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол а Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) A(3; 4); 2) B(-2; 1); 3) С(-3; 5).

128. Начало координат перенесено (без изменения на-правления осей) в точку O'(3; -4). Координаты точек A(1; 3), В(-3; 0) и С(-1; 4) определены в новой системе Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129. Даны точки A(2; 1), В(-1; 3) и С(-2; 5); Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.

130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) х = х' + З, y = y' + 5; 2) х = х' - 2, у = у'+ 1; 3) x = x' у = у' - 1; 4) х = х' - 5, у = у'.

131. Написать формулы преобразования координат, если оси координат повернуты на один из следующих углов: 1) 60°; 2) -45°; 3) 90°; 4) -90°; 5) 180°.

132. Оси координат повернуты на угол α = 60°. Координаты точек А (2√3 ; -4), В (√3; 0) и С(0; -2√3 ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

133. Даны точки M(3; 1), N(- 1; 5) и Р(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол: 1) -45°; 2) 90°; 3) -90°; 4) 180°.

134. Определить угол а, на который повернуты оси, если формулы Преобразования координат заданы еле- дующими равенствами: 1)x = 1/2x' - √3/2y', y = √3/2x' + 1/2y'; 2) x = √3/x' + 1/2y', y = -1/2x' + √3/2y'.

135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка A(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В (2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136. Написать формулы преобразования координат, если точка M₁(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M₂(l; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох', Оу' имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки A(3; -4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох' определено отрезком OА.

138. Начало координат перенесено в точку O'(-1; 2), оси координат повернуты на угол α = arctg5/12. Координаты точек М₁(З; 2), М₂(2; -3) и М₃(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

139. Даны три точки: A(5; 5), В (2; -1) и С( 12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат повернуты на угол α = arctg3/4.

140. Определить старые координаты нового начала и угол α, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: 1) x = -y' + 3, y = x' -2; 2) x = -x' - 1 y = -y' + 3 3) x = √2/2x' + √2/2y' + 5 , y = - √2x' + √2/2y' - 3 . .

141. Даны две точки: M₁(9; -3) и М₂(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M₁, а оси координат повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка M₁M₂. Вывести формулы преобразования координат.

142. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек М₁(7; π/2), М₂(3; 0), М₃(5; -π/2), М₄(2; 2/3π) М₅(2; -π/6); Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе.

143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M₁( 5;π/4), М₂( 3;-π/4), М₃(1; 3/4π), М₄(6;-3/4π) и М₅ (2; -π/12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.

144. Полярная ось полярной системы координат па-раллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си стемы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M₁(5; 2), M₂(3; 1), М₃(3; 5), М₄(3 + √2; 2 - √2) и M₅(3 + √3 ; 3). Определить полярные координаты этих точек.

145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы прямоугольные координаты точек M₁(- l; 1), M₂(√2; - √2), M₃(1; √3), М₄(- √3; 1) и M₅(2√З; -2). Определить полярные координаты этих точек.