Часть вторая

588. 1. Часть параболы у2 = 4*, расположенная в первом координатном углу (рис. 116); 2) часть параболы y² = 4x, расположенная во втором координатном углу (рис. 117); 3) часть параболы у² = - 18x, расположенная в третьем координатном углу (рис. 118); 4) часть параболы у² = 4x ,. расположенная в четвертом координатном углу (рис. 119); 5) часть параболы х² = 5у, расположенная в первом координатном углу (рис. 120); 6) часть параболы х² = -25у, расположенная в третьем координатном

углу (рис. 121); 7) часть параболы х² = 3у, расположенная во втором координатном углу (рис. 122); 8) часть параболы x² = - 16у, рас* положенная в четвертом координатном углу (рис. 123). 589. F (6; 0),

x + 6 = 0. 590. 12. 591. 6. 592. (9;12). (9; -12) 593. y² = - 28x. 594. 1) (y - β)² = 2p (x - α)² = -2p(y - β). 596. 1) A(2; 0), p = 2, x - 1 = 0; 2) A(2/3; 0), p = 3, 6x - 13 = 0; 3) A(0; -1/3), p = 3, 6y + 11 = 0; 4) A(0;2), p = 1/2, 4y - 9 = 0. 597. 1) A (-2; 1), p = 2;

2) A(1; 3), p = 1/8; 3) A(6; -1), p = 3. 598 1) A(-4; 3), p = 1/4; 2) A(1;2), p = 2; 3) A(0;1), p = 1/2 .

599. 1) Часть параболы (у - 3)² = 16(х - 1), расположенная под прямой у - 3 = 0 (рис. 124); 2) часть параболы (x + 4)² = 9 (у + 5), расположенная вправо от прямой x + 4 = 0 (рис. 125); 3) часть параболы (х - 2)² = -2( у - 3), расположенная влево от прямой х - 2 = 0 (рис. 126); 4) часть параболы (y + 5)² = - 3 (x + 7), расположенная под прямой y + 5 = 0 (рис. 127)

600. х = 1/4у² - y + 7. 601. x = 1/8x² - x + 3. 602. х² + 2ху + y² + y² - 6x + 2y + 9 = 0. 603. F(9; -8). 604. 4x² - 4xy + y² + 32x + 34y + 89 = 0. 605. (2; 1), (-6; 9).

606. (-4; 6) - прямая касается параболы. 607. Прямая и парабола не пересекаются. 608. 1) Касается параболы; 2) пересекает параболу в двух точках;

3) проходит вне параболы. 609. I) k < 1/2; 2) k = 1/2; 3) k > 1/2. 610. p = 2bk. 612. y₁y = р (x + x₁). 613. х + y + 2 = 0. 614. 2х - y - 16 = 0. 615. d = 2√13. 616. M₁ (9; -24); d = 10. 617. 3х - y + 3 = 0 и 3х - 2y + 12 = 0. 619. 5х - 18y + 25 = 0 620. d = 13 5/13. 621. (6; 12) и (6; -12). 622. (10; √30), (10; - √30), (2; √6), (2; -√6) 623. (2; -1), (-1; 4), )(3 + √13)/2 : ( 7 + √13/2)) и (3 - √13)/2 : ( 7 - √13/2)) 625. y - 18 = 0. Указание. Воспользоваться свойством параболы, сформулированным в задаче 624.

628. 1) p = 16/(5 - 3 cosΘ); 2) p = 16/ (5 + 3cosΘ). 629. 1) p = 9/ (4 - 5cosΘ); 2) p = - 9/(4 - 5cosΘ). 630. 1) p = 144/(5 + 13cosΘ); 2) p = - 144/(5 + 13cosΘ). 631. p = 3/(1 - cosΘ)

632. 1) Эллипс; 2) парабола; 3) ветвь гиперболы; 4) эллипс; 5) ветвь гиперболы; 6) парабола. 633. 13, 12. 634. 8, 6. 635. p - 21/2cosΘ, p = 29/2cosΘ 636. Уравнения директрис: р = -34/5sinΘ, p = -16/5 cosΘ; уравнения асимптот: р = 20/(3sinΘ - 4cosΘ), p = - 20/(3sinΘ + 4cosΘ)

637. (6; π/4). (6; -π/4), 638. (3; 2/3π), (3; -2/3π). 639. 1) (p/2; π); 2) (p; π/2), (p; - π/2). 640. p² = b²/(1 - ε²cos²Θ). 641. p² = b²/(ε²cos² Θ - 1). 642. p = 2pcosΘ/sin²Θ. 643. 8x + 25y = 0. 644. 9x - 32y - 73 = 0. 645. x - y = 0. 646. x + 2у = 0, 8x - 9у = 0. 647. x + 2у = 0, 2x - 3у = 0. 654. 2x - 5у - 0. 655. 7x + у - 20 = 0. 656. x - 8y = 0, 2х - y = 0. 657. х - 2y = 0, 3x - у = 0; x + 2у = 0, Зx + у = 0. 661. y + 2 = 0. 662. 2х - y + 1 = 0.

665. Линии 1), 2), 5) и 8) имеют единственный центр, 3), 7) - не имеют центра, 4, 6) - имеют бесконечно много центров. 666. 1) (3; -2); 2) (0; -5); 3) (0; 0); 4) (- 1; 3). 667. 1) x - 3y - 6 = 0; 2) 2x + y - 2 = 0; 3)5x - у + 4 = 0. 668. 1) 9x² - 18ху + 6y² + 2 = 0; 2) 6x² + 4ху + y² - 7 = 0; 3) 4x² + 6ху + у² - 5 = 0; 4) 4x² + 2ху + 6у² + 1 = 0. 669. 1) m ≠ 4, n -любое значение; 2) m = 4, n ≠ 6; 3) m = 4, n = 6. 670. 1) k = 2; 2) k₁ = - 1, k₂ = 5; 3) при всех k ≠ 2 и удовлетворяющих неравенствам -1< k < 5; 4) при k < -1 и при k > 5. 671. x² - 8y² - 4 = 0. 672. х² + хy + y² + 3y = 0. 673. 1) Эллиптическое уравнение; определяет эллипс x'²/9 + y'²/4 = 1; О' (5; -2) - новое начало;

2) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу x'²/16 + y'²/9 = 1; О' (3; -2) - новое начало; 3) эллиптическое уравнение x'²/4 + y'²/9 = -1; не определяет никакого геометрического образа (является уравнением «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу - пару пересекающихся прямых 4х'² - у'² = 0; О' (-1; -1) - новое начало; 5) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс (единственную точку) 2x'² + 3у'² = 0. 674 . 1) Гиперболическое уравнение; определяет гиперболу x'²/9 - y '²/4 = 1; tgα = -2, cosα = 1/√5 , sinα = - 2/√5; л'2 г/'2

2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс x'²/16 + y²/4 = 1; α = 45°; 3) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс - единственную точку х'² + 4у'² = 0; tgα = 2, cosα = 1/√5, sinα = 2/√5; 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу - пару пересекающихся прямых х'² - у'² = 0; tgα = 3/2, cosα = 3/√13, sinα = 2/√13 ; 5) эллиптическое уравнение; не опре деляет никакого геометрического образа (является уравнением «мнимого эллипса»); в новых координатах его уравнение имеет вид x'²/4 + y'² = -1; α = 45°. 675. 1) Гиперболическое; 2) эллиптическое; 3) параболическое; 4) эллиптическое; 5) параболическое; 6) гиперболическое. 676. 1) Гиперболическое уравнение; определяет

гиперболу, уравнение которой приводится к виду х'² - у'²/4 = 1 уравнение; определяет эллипс, уравнение которого приводится к виду x'²/16 + у'²/9 = 1 путем двух последовательных преобразований

координат: (рис. 129);. 3) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу, уравнение которой приводится к виду x'²/9 - y'²/36 = 1 путем двух последовательных преобразований координат: и (рис. 130); 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу - пару пересекающихся прямых, уравнение которых приводится к виду x'² - 4y'² = 0 путем двух последовательных преобразований координат: , (рис. 131); 5) эллептическое уравнение; не определяет никакого геометрического образа - "мнимый эллипс"; его уравнение приводится к виду x'² + 2y'² = -1 путем двух последовательных преобразований координат: , 6) эллептическое уравнение; определяет вырожденный эллипс - единственную точку; его уравнение приводится к виду 2х'² + 3y'² = 0 путем двух последовательных преобразований координат: = 1 - эллипс 2) 9x² - 16y² = 5 - гипербола; 3) x² - 4y² = 0 - вырожденная гипербола - пара пересекающихся прямыхб уравнения которых x - 2y = 0, x + 2y = 0; 4) 2x² + 3y² = -1 - "мнимый эллипс"; уравнение не определяет никакого геометрического образа;

5) x² + 2y² = 0 - вырожденный эллипс; уравнение определяет единстввенную точку - начало координат; 6) x²/9 + y²/4 = 1 - эллипс; 7) x²/4 + y² = 1- гипербола; 8) x²/9 + y² = 1 - эллипс;

678 1) 3 к 1; 2) 3 и 2; 3,1 и 1/2 4) 3 и 7. 379. 1) х = 2, у = 3; 2) х = 3, у = - 3; 3) х = 1, y = -1; 4) х = -2, у = 1. 680. 1) 2 и 1; 2) 5 и 1; 3) 4 и 2; 4) 1 и 1/2. 681 1) х + у - 1 = 0, 3х + у + 1 = 0; 2) х - 4у - 2 = 0, х - 2у + 2 = 0; 3) х - у = 0, х - 3у = 0, 4) х + у - 3 = 0, х + 3у + 3 = 0. 682, 1) Эллипс; 2) гипербола; 3) пар? пересекающихся прямых (вырожденная гипербола); i) уравнение ие определяет никакого геометрического образа («мнимый эллипс»); 5) точка (вырожденный эллипс). 689. 1) Параболическое уравнение; определяет параболу, уравнение которой приводится к виду y"² = 2х" путем двух последовательных преобразовании координат: x = (-4x' + 3y')/5, y = (-3x' - 4y')/5 и

х' = х" + 4/√13, у' = у" (рис. 132); 3) параболическое уравнение; не определяет никакого геометрического образа ; приводится к виду y" + 1 = 0 путем двух последовательных преобразований координат; x = (3x' - 4y')/5, y = (4x' - 3y')/5 и x' = x", y' = y" - 4. 690. 1) y² = 6x - парабола; 2) y² = 25 - вырожденная гипербола - пара параллельных прямыхб уравнения которых y - 5 = 0, y + 5 = 0; 3) y² = 0 - вырожденная парабола - пара слившихся прямых, совпадающих с осью абсцисс.

693. 1) (х + 2у)² + 4х + у - 15 = 0; 2) (3х - у)² - х + 2y - 14 = 0; 3) (5x - 2у)²2 + 3х - у + 11 = 0; 4) (4х + 2у)² - 5х + 7y = 0; 5) (Зх - 7y)² + 3х - 2у - 24 = 0. 697. 1) 3; 2) 3; 3) √2; 4) 1/2√10. 699. 1) 2х + у - 5 = 0, 2х + y - 1 =0; 2) 2х - 3y - 1 = 0, 2х - 3y + 11 = 0; 3) 5х - у - 3 = 0, 5х - у + 5 = 0. 700. 1) х - 3y + 2 = 0; 2) 3х + 5y + 7 = 0; 3) 4х - 2у - 9 = 0. 701. (х² + у²)² - 2с² (х² - y²) = а⁴ - с⁴.

702. (х² + y²)² = 2а² (х² - y²); р² = 2а²cos2Θ. 703. р² = S sin2Θ; (х² + y²)² = 2Sxy. 705. р = ϑ/ωΘ и р = - ϑ/ωΘ. 706. (2r - х) у² = х³. 707. х(а² + y²) = а³. 708. p = a/cosΘ ± b; x²y² + (х + а)² (х² - b²) = 0. 709. р = a/cosΘ ± a tgΘ; х² [(х + а)² + y²]= а²y². 710. р = 2а cosΘ ± b; (х² + у² - 2ах)² = b² (х² + у²). 711. p = a|sin2Θ|; (х² + y²)³ = 4а²х²y². 712. x = acos³t; у = a sin³t; х³ + у³ = а³. 713. р = a cos³ Θ; (х² + у²)² = ах³.

714. х = a (cos t + t sin t); у - a (sin t - t sin t). 715. x = a(t - sin t), у = a (1 - cos t); x + √( y(2a - y)) = a arccos (a - y)/a 716. x = a (2 cos t - cos 2t), у = a (2 sin t - sin 2t); p = 2а (1 - cos Θ). 717. x = (a + b) cost - acos (a + b)/a t, y = (a + b) sin t - a sin (a + b)/a t. 718. x = (b - a)cos t + a cos (b - a)/a t, y = (b - a)sin t - a sin (b - a)/a t.

720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка С лежит па плоскости Оху, следовательно, ее проекция на эту Плоскость с ней совпадает, (0; 0; 0);
2) (4; 0; 5), (-3; 0; 1), (2; 0; 0), точка D лежит на плоскости Oxz, следовательно, ее проекция на эту плоскость с ней совпадает?
3) (0;2;5), (0; 2; 1), (0; -3; 0), точка D лежит на плоскости Oyz, ее проекция на эту плоскость с ней совпадает; 4) (4; 0; 0), (-3; 0; 0). (2; 0; 0), (0; 0; 0); 5) (0; 3; 0), (0; 2; 0), (0; -3; 0), (0; 0; 0); 6) (0; 0; 5), (0; 0; 1), (0; 0; 0), точка D лежит на оси апликат, следовательно, ее проекция на эту ось с ней совпадает.
721. 1) (2; 3; - 1) (5; -3; -2), (-3; 2; 1), (а; b; - c); 2) (2;-3; 1), (5; 3; 2), (-3; -2; -1), (a; -b; c); 3) (-2; 3; 1), (-5; -3; 2), (3; 2; -1), (- a; b; с); 4) (2; -3; -1), (5; 3; -2), (-3; -2; 1), (а; - b; - с); 5) (-2; 3; -1), (-5; -3; -2), (3;2;1), (-а; b; -с); 6) (-2; -3; 1), (-5; 3; 2), (3; -2; - 1), (- а; - b; с)) 7) (-2; -3; -1), (-5; 3; -2), (3; -2; 1), (- а; b; - c). 722. (а; a; - а), (а; - а; а), (- а; а; а), (- а; - а; а),

723. 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во втором, четвертом, Шестом и восьмом; 3) в первом, четвертом, шестом и седьмом; 4) Во втором, третьем, пятом и восьмом; 5) в первом, втором, седьмом и восьмом; 6) в третьем, четвертом, пятом и шестом. t24, 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во втором, третьем, йятом и восьмом; 3) в первом, втором, седьмом и восьмом; 4) в первом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором, четвертом, пятом и седьмом.

725. 1) (-3; 3; 3); 2) (3; 3; -3); 3) (-3; 3; -3); 4) (-3; -3; -3); 5) (3; -3; -3). 726. 1) 7; 2) 13; 3) 5. 727. ОА = 6, ОВ = 14, ОС = 13, OD = 25.

732. (5; 0; 0) и (-11; 0; 0). 733. (0; 2; 0). 734. С (3; -3; -3), R = 3. 735. (2; -1; -1), (- 1; -2; 2), (0; 1; -2). 736. 7. 737. x = 4,y = -1, z = 3. 738. С (6; 1; 19) и 0(9; -5; 12). 739. 0 (9; -5; 6). 740. Четвертая вершина параллелограмма может совпадать с одной из точек: D₁(-3; 4; -4), D₂ (1; -2; 8), D₃ (5; 0; -4). 741. С (1; 5; 2), D (3; 2; 1), E(5; -l;0),F(7;-4; -1). 742. А (-1; 2; 4), В (8; -4; -2). 743. 2/3 √74.

744. 3/4 √10. 745. x = (x₁ + x₂ + x₃ +x₄)/4, y = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄)/4, z = (z₁ + z₂ + z₃ + z₄)/4. 746. x = (m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ + m₄x₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄),y = (m₁y₁ + m₂y₂ + m₃y₃ + m₄y₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄), z = (m₁z₁ + m₂z₂ + m₃z₃ + m₄z₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄)

747. (2;-3; 0), (1; 0; 2),(0; 3; 4). 748. |а| = 7. 749. z = ±3. 750. АB = {-4; 3; -1}, BA = {4; -3; 1}. 751. N (4; 1; 1). 752. (-1; 2; 3). 753. X = √2, У = 1, Z = - 1. 754. cosα = 12/25, cosβ = -3/5, cosγ = -16/25. 755. cosα = 8/13, cosβ = 4/13, cosγ = 12/13. 756. 1) Может; 2) не может; 3) может. 757. 1) Не может; 2) может; 3) не может.

758. 60° или 120°. 759. a = {l; - 1; √2} или а = {1; -1; -√2} 760. M₁ (√3; √3; √3), М₂ (-√3; -√3; -√3). 761. См. рис. 134. 762. |а - b| = 22. 763. |а + b| = 20.

764. |a + b| = |a - b| = 13. 765. |a + b|= √l29 ≈ 11,4, |а - b| = 7. 766. | а + b| = √19 ≈ 4,4, |а - b| = 7. 767. 1) Векторы а и b должны быть взаимно перпендикулярны; 2) угол между векторами а и b должен быть острым; 3) угол между векторами а и b должен быть тупым. 768. |а| = |b|. 769. См. рис. 135. 774. |R| = 15. 775. 1) {1; -1; 6}; 2) {5; -3; 6}; 3) {6; -4; 12}; 4) { 1; -1/2; 0 }; 5) {0; -2; 12}; 6) {3; -5/3; 2}. 776. Вектор b длиннее вектора а в три раза; они направлены в противоположные стороны.

777. α = 4, β = - 1. 779. Вектор АB в два раза длиннее вектора CD; они направлены в одну сторону. 780. а° = {6/7; -2/7; -3/7}. 781. а° = {3/13; 4/13; -12/13}. 782. |а + b| = 6, |а -b| = 14.

783. d = - 48l + 45j - 36k. 784. с = {-3; 15; 12}. 785. АM = {3; 4; -3}, BN = {0; -5; 3}, CP = {-3; 1; 0}. 787. а = 2р + 5q. 788. а = 2b + с, b = 1/2a -1/2c, c = a - 2b. 789. р = 2а - 3b. 790. АM = 1/2b + 1/2c, BN = 1/2c - b, CP = 1/2b - c, где M, N и P - сердины сторон треугольника ABC. 791. АD = 11АB - 7АC, BD = 10АB - 7АC, CD = 11АB - 8АC, АD + BD + CD = 32АB - 22АC. 793. с = 2р -3q + r. 794. d = 2а - 3b + с, с = - 2a + 3b + d, b = 2/3а + 1/3с - 1/3d, a = 3/2b - 1/2c + 1/2d. 795. 1) -6; 2)9; 3) 16; 4) 13; 5)-61; 6) 37; 7) 73. 796. 1) -62; 2) 162; 3) 373. 797. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

798. - ab = ab, когда векторы a и b коллинеарны и имеют противоположные направления; аb = аb, когда векторы а и b коллинеарны и имеют одинаковые направления. 799. При условии, что b перпендикулярен к векторам а и с, и также в тбм случае, когда векторы а и с коллинеарны.

800. аb + bс + са = - 3/2. 801. аb + bс + са = - 13. 802. |р| = 10. 803. α = ± 3/5 804. |α| = |b|. 807. BD = bc/с²c - b. 808. α = arccos2/√7 809. φ = arccos(-4/5).

810. Плоскость, перпендикулярная к оси вектора а и отсекающая на ней отрезок, величина которого, считая от точки А, равна α/|a|. 811. Прямая пересечения плоскостей, перпендикулярных к осям векторов а и b и отсекающих на этих осях отрезки, величины которых, считая от точки A, равны α/|a| и β/|b|.

812. 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200; 5) 129; 6) 41. 813. 17. 814. 1) -524; 2) 13; 3) 3; 4) (АB • АC) • BC = {-70; 70; -350} и АB (АC • BC) = {-78; 104; -312}. 815. 31. 816. 13. 818. α = - 6. 819. соsφ = 5/21. 820. 45°. 821. arccos(- 4/9).

823. х = {-24; 32; 30}. 824. х = {1; 1/2; -1/2}. 825. х = - 4i - 6j + 12k . 826. x = {-3; 3; 3}. 827. х = {2; -3; 0}. 828. x = 2i + 3j - 2k. 829. √3. 830. -3. 831. -5. 832. 6. 833. -4. 834. 5. 835. -11. 836. X = - 14/3, Y = - 14/3, Z = -7/3. 837. 3. 838. - 6 5/7. 839. |[аb]| = 15. 840. |[аb]| = 16. 841. аb = ± 30. 842. 1) 24; 2) 60. 843. 1) 3; 2) 27; 3} 300. 844. Векторы а и b должны быть коллинеарны. 846. В случае перпендикулярности векторов а и b. 850. 1) {5; 1; 7}; 2) {10; 2; 14}; 3) {20; 4; 28}.

851. 1) {6; -4; -6}; 2) {-12; 8; 12}. 852. {2; 11; 7}. 853. {-4; 3; 4}. 854. 15; cosα = 2/3, cosβ = -2/15, cosγ = 11/15. 855. 28; cosα = -3/7, cosβ = -6/7, cosγ = 2/7. 856. √66; cosα = 1/√66 , cosβ = - 4/√66, cosγ = -7/√66. 857. 14 кв. ед. 858. 5. 859. sinφ = 5√17/21. 860. {-6; -24; 8}. 861. m = {45; 24; 0}. 862. x = {7; 5; 1}.

864. [[ab] c] - {-7; 14; -7}; [a [bc]] = {10;-13; 19}. 865. 1) Правая; 2) левая; 3) лёвая; 4) правая; 5) Векторы компланарны; 6) левая. 866. аbс = 24. 867. abc = ± 27; знак плюс в том случае, когда тройка векторов а, b, с правая, и минус - когда эта тройка левая. 868. В том случае, когда векторы а, b, с взаимно перпендикулярны. 873. abc = - 7. 874. 1) Компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны. 876. 3 куб. ед. 877. 11. 878. D₁ (0; 8; 0), D₂ (0; -7; 0).

881. X = - 6, Y = - 8, Z = - 6. 882. Векторы a и с должны быть коллинеарны или вектор b - должен быть перпендикулярен к векторам а и c. 885, Точки М₁, М₂, М₄ лежат на поверхности, точки М₃, M₅, М₆ не лежат на ней. Уравнение определяет сферу с центров в начале координат и радиусом, равным 7. 886. 1) (1; 2; 2) и (1; 2; -2); 2) на данной поверхности нет тацой точки; 3) (2; 1; 2) й (2; -1; 2); 4) на данной поверхности нет такой точки.

887. 1) Плоскость Oyz; 2) плоскость Oxz; 3) плоскость Оху; 4) плоскость, параллельная плоскости Oyz и лежащая в ближнем полупространстве на расстоянии двух единиц от нее; 5) плоскость, параллельная плоскости Oxz и лежащая в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее; 6) плоскость, параллельная плоскости Оху и лежащая в нижнем полупространстве на расстоянии пяти единиц от нее; 7) сфера с центром в начале координат и радиусом, равным 5;

8) сфера с центром (2; -3; 5) и радиусом, равным 7; 9) уравнений определяет единственную точку - начало координат; 10) уравнение никакого геометрического образа в пространстве не определяет; 11) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Oxz, Oyz и проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; 12) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху, Oyz и проходит во 2, 3, 5 и 8 октантах; 13) плоскость, которая делит пбполам двугранный угол между плоскостями Оху, Oxz а проходит в 1, 2, 7 и 8 октантах; 14) плоскости Oxz и Oyz;

15) плоскости Оху и Oyz; 16) плоскости Оху и Oxz; 17) совокупность всех трех координатных плоскостей; 18) плоскость Oyz и плоскость, параллельная плоскости Oyz и лежащая в ближнем полупространстве на расстоянии четырех единиц от нее; 19) плоскость Oxz и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Oxz, Oyz и проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; 20) плоскость Оху и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху, Oxz и проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах.

889. х² + y² + z² = r². 890. (х - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = r². 891. у - 3 = 0. 892. 2z - 7 = 0. 893. 2x + 3 = 0. 894. 20y + 53 = 0. 895. х² + y² + z² = а². 896. х² + y² + z² = а². 897. х + 2z = 0. 898. x²/9 + y²/9 + z²/25 = 1. 899.x²/16 + y²/9 + z²/16 = -1.

900. Точки М₁, M₃ лежат на данной линии; точки М₂, М₄ не лежат на ней. 901, Линии 1) и 3) проходят через начало координат. 902. 1) (3; 2; 6) и (3; -2; 6) (3; 2; 6) и (-3; 2; 6); 3) на данной линии нет такой точки.

903. 1) Ось апликат; 2) ось ординат; 3) ось абсцисс; 4) прямая, проходящая через точку. (2; 0; 0) параллельно оси О г; 5) прямая, проходящая через точку. (-2; 3; 0) параллельно оси Oz; 6) прямая, проходящая через точку. (5; 0; -2) параллельно оси Оу; 7) прямая, проходящая через точку (0; -2; 5) параллельно оси Ох; 8) окружность, лежащая на плоскости Оху, с центром в начале координат и радиусом, равным 3; 9) окружность, лежащая на плоскости Oxz, с центром в начале координат и радиусом, равным 7; 10) окружность, лежащая на плоскости Oyz, с центром в начале координат и радиусом, равным 5; 11) окружность, лежащая на плоскости z - 2 = 0, с центром в точке (0; 0; 2) и радиусом, равным 4.

904. х² + y² - z² = 9. у = 0, 905. х² + y² + z² = 25, у + 2 = 0. 906. (х - 5)² + (у + 2)² + (z - 1)² = 169, х = 0. 907. х² + y² + z² = 36. (х - 1)² + (у + 2)² + (z - 2)² = 25. 908. (2; 3; -6), (-2; 3; -6). 909. (1; 2; 2), ( -1; 2; 2).

910, 1) Цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окружность, которая на плоскости Oxz определяется уравнением х² + z² = 25; 2) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имеющая направляющей эллипс, который на плоскости Оуz определяется уравнением y²/25 + z²/16 = 1; 3) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей гиперболу, которая на плоскости Оху определяется уравнением x²/16 - y²/9 = 1;

4) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Oxz определяется уравнением х² = 6z; 5) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями х = 0, х - у = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 6) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Oxz определяются уравнениями x - z = 0, x + z = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось абсцисс; 8) уравнение никакого геометрического образа в пространстве не определяет; 9) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окружность; направляющая на плоскости Oxz определяется уравнением х² + (z - 1)² = 1; 10) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ох; направляющая на плоскости Оуz определяется уравнением у² + (z + 1/2)² = 1/4.

911. 1) x² + 5y² - 8у - 12 = 0; 2) 4x² + 5z² + 4z - 60 = 0; 3) 2y - z - 2 = 0. 912. 1) 8x² + 4y² - 36x + 16y -3 = 0, z = 0; 2) 2x - 2z - 7 = 0, у =0; 3) 4y² + 8z² + 16y + 20z - 31 = 0, x = 0. 913. x - 2y + 3z + 3 = 0. 914. 5x - 3z = 0. 915. 2x - y - z - 6 = 0. 916. x - у - 3z + 2 = 0. 917. x + 4y + 7z + 16 = 0. 919. x - у - 2 = 0. 921. 3х + 3у + z - 8 = 0. 923. 1) n = {2; -1; -2}, n = {2 λ;- λ;-2 λ}; 2) пn = {1;5;-1}, n = { λ; 5 λ; - λ}; 3) n = {3; -2; 0}, n = {3 λ; - 2 λ; 0}; 4) n = {0; 5; -3}, n = {0; 5λ; - 3λ}; 5)n = { 1; 0; 0}, n = {λ; 0; 0}; 6) n = {0, 1, 0), n ={0; λ; 0}, где λ - любое число, не равное нулю.

924. 1) и 3) определяют параллельные плоскости. 925. 1) и 2) определяют перпендикулярные плоскости. 926. 1) l = 3, m = - 4; 2) l = 3, m = - 2/3; 3) l = -3 1/3, m = - 1 1/5. 927. 1) 6; 2) -19; 3) -1/7. 928. 1) 1/3 π 2/3π 2) 1/4π и 3/4π; 3) π/2; 4) arccos2/15 и π - arccos2/15.

929. 4х - 3у + 2z = 0. 930. 2х - 3z - 27 = 0. 931. 7х - у - 5z = 0. 932. x + 2z - 4 = 0. 934. 4x - у - 2z -9 = 0. 936. x = 1, у = - 2, z = 2. 939, 1) а ≠ 7; 2) а = 7, b = 3; 3) а = 7, b ≠ 3. 940. 1) z - 3 = 0; 2) у + 2 = 0; 3) x + 5 = 0. 941. 1) 2у + z = 0; 2) 3x + z = 0; 3) 4x + 3у = 0. 942. 1) у + 4z + 10 = 0; 2) x - z - 1 = 0; 3) 5x + y - 13 = 0. 943. (12; 0; 0), (0; -8; 0), (0; 0; -6). 944. x/6 + y/3 + z/-2 = 1. 945. а = -4, b = 3, с = 1/2. 946. 240 кв. ед. 947. 8 куб. ед. 948. x/-3 + y/-4 + z/2 = 1. 949. x/-3 + y/3 + z/(-3/2) = 1. 950. x + y + z + 5 = 0. 951. 2x - 21y + 2z + 88 = 0, 2x - 3у - 2z + 12 = 0

952. х + у + z - 9 = 0, x - y - z + 1 = 0, x - у + z - 3 = 0, x + y - z - 5 = 0. 953. 2x - y - 3z - 15 = 0. 954. 2x - 3у + z -6 = 0. 955. х - 3y - 2z + 2 = 0. 956. Плоскости 1), 4), 5), 7), 9), 11) и 12) заданы нормальными уравнениями. 957. 1) 2/3x - 2/3у - 1/3z - 6 = 0; 2) -3/7x + 6/7y - 2/7z - 3 = 0; 3) 2/7x - 3/7y - 6/7z - 11/14 = 0; 4) 2/3x + 2/3y - 1/3z - 1/6 = 0; 5) -5/13y + 12/13z - 2 = 0; 6)3/5x - 4/5y - 1/5 = 0; 7) -y - 2 = 0; 8) x - 5 = 0; 9) z - 3 = 0; 10) z - 1/2 = 0.

958. 1) α = 60°, β = 45°, γ = 60°, р = 5; 2) α = 120°, β == 60°, γ = 45°, р = 8; 3) α = 45°, β = 90°, γ = 45°, р = 3√2; 4) α = 90°,β = 135°, γ = 45°, p = √2; 5) α = 150°, β = 120°, γ = 90°, р = 5; 6) α = 90°, β = 90°, γ = 0°, р = 2; 7) α = 180°, β = 90°, γ = 90°, р = 1/2; 8) α = 90°, β = 180°, γ = 90°, Р = 1/2; 9) α = arccos1/3, β = π - arccos2/3, γ = arccos2/3, р = 2; 10) α = π - arccos 2/7, β = π - arccos3/7, γ = arccos6/7 , р = 4/7.

959. 1) δ = - 3, d = 3; 2) δ = 1, d = 1; 3) δ = 0, d = 0 - точка M₃ лежит на плоскости; 4) δ = - 2, d = 2; 5) δ = - 3, d = 3. 960. d = 4. 961. 1) По одну сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные стороны; 4) по одну сторону; 5) по разные стороны; 6) по разные стороны. 964. 1) d = 2; 2) d = 3,5; 3) d = 6,5; 4) d = 1; 5) d = 0,5; 6) d = 5/6. 965. 8 куб. ед.

966. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 7; 0) и (0; -5; 0). 967. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 0; -2) и (0; 0; -6 4/13). 968. Условию задачи удовлетворяют две точки: (2; 0; 0) и (11/43; 0; 0). 969. 4x - 4y - 2z + 15 = 0. 970. 6x + 3y + 2z + 11 =0. 971. 2x - 2у - z - 18 = 0, 2х - 2у - z + 12 = 0. 972. 1) 4х - у - 2z - 4 = 0; 2) 3x + 2у - z + 1 = 0; 3) 20x - 12у + 4z + 13 = 0. 973. 1) 4x - 5y + z - 2 = 0, 2x + у - 3z + 8 = 0; 2) x - 3у - 1 = 0. 3x + у - 2z - 1 = 0; 3) 3x - 6y + 7z + 2 = 0, x + 4y + 3z + 4 = 0. 974. 1) Точка М и начало координат лежат в смежных углах; 2) точка М и начало координат лежат в одном углу; 3) точка М и начало координат лежат в вертикальных углах.

975. 1) Точки М и N расположены в смежных углах; 2) точки М и N расположены в вертикальных углах. 976. Начало координат лежит внутри острого угла. 977. Точка М лежит внутри тупого угла. 978. 8x - 4у - 4z + 5 = 0. 979. 23x - у - 4z - 24 = 0. 980. x - у - z - 1 = 0. 981. x + у + 2z = 0. 982. 5x - 7у - 3 = 0, z = 0; 5x + 2z - 3 = 0, у = 0; 7у - 2z + 3 = 0, x = 0. 983. 3х - у - 7z + 9 = 0 5y + 2z = 0. 984. (2;-1; 0), (1 1/3; 0; -1/3), (0; 2;-1).

986. 1) D = - 4; 2) D = 9; 3) D = 3. 987. 1) A₁ = А₂ = 0, и хотя бы одно из чисел D₁, D₂ отлично от нуля; 2) B₁ = B₂ = 0, и хотя бы одно из чисел D₁, D₂ отлично от нуля; 3) С₁ = С₂ = 0, и хотя бы одно из чисел D₁, D₂ отлично от нуля. .

988. 1) A₁/A ₂ = D₁/D₂; 2) B₁/B₂ = D₁/D₂ 3) C₁/D₂ = D₁/D₂; 4) A₁ = D₁ = 0. 5) В₁ = D₁ = 0, B₂ = D₂ = 0; 6) С₁ = D₁ = 0, С₂ = D₂ = 0. 989. 1) 2х + 15у + 7z + 7 = 0; 2) 9у + 3z + 5 = 0; 3) 3x + 3z - 2 = 0; 4) 3х - 9у - 7 = 0. 990. 1) 23х - 2y + 21z - 33 = 0; 2) y + 2 - 18 = 0; 3) х + 2 - 3 = 0; 4) 4) х - у + 15 = 0. 991. 5х + 5z - 8 = 0.

992. α (5x - 2у - z - 3) + β(х + 3у - 2z + 5) = 0, Указание. Прямая пересечения плоскостей 5x - 2у - z - 3 = 0, 3x - 2z + 5 = 0 параллельна вектору t = {7; 9; 27}; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую, 993. 11х - 2у - 15z - 3 = 0. 994. α(5x - у - 2z - 3) + β(3x - 2у - 5z + 2) = 0. Указание. Прямая пересечения плоскостей 5x - у - 2z - 3 = 0. 3х - 2у - 5z + 2 = 0 перпендикулярна к пло-скости x + 19y - 7z - 11 = 0; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.

995. 9х + 7у + 8z + 7 = 0. 996. х - 2у + z - 2 = 0, х - 5у + 4z - 20 = 0. 997. Принадлежит. 998. Не принадлежит. '999. l = - 5, m = - 11. 1000. 3x - 2у + 6z + 21 = 0, 189х + 28у + 48z - 591 = 0. 1001. 2х - 3у - 6z + 19 = 0, 6x - 2у - 3z + 18 = 0. 1002. 4x - 3у + 6z - 12 = 0, 12х - 49у + 38z + 84 = 0. 1003. 4x + 3у - 5 = 0, 5х + 3z - 7 = 0. 1004. 7x - у + 1 = 0, z = 0; 5x - z - 1 = 0, у = 0; 5у - 7х - 12 = 0, x = 0. 1005. х - 3у + 5z - 3 = 0. 1006. 2x - 4у - 8z + 1 = О, 2*-»+*- 1 =0.

1007. 1) (x - 2)/2 = y/-3 = (z + 3)/5; 2) (x - 2)/5 = y/2 = (z + 3)/-1; 3) (x - 2)/1 = y/0 = (z + 3)/0; 4)(x - 2)/5 = y/1 = (z + 3)/0; 5) (x - 2)/0 = y/0 = (z + 3)/1. 1008. 1) (x - 1)/2 = (y + 2)/3 = (z - 1)/-2; 2) (x - 3)/ 2 = (y + 1)/-1 = z/3; 3) x/3 = (y + 2)/0 = (z - 3)/-2; 4)(x + 1)/1 = (y - 2)/0 = (z + 4 )/0 . 1009. 1) х = 2t + 1, y = -3t- 1, z = 4t - 3; 2) x = 2t + 1, у = 4t - 1, z = - 3; 3) х = 3t + 1, у = - 2t - 1, z = 5t - 3. 1010. 1) х = t + 2, у = 2t + 1, z = t + 1; 2) х = t + 3, y = - t - 1, z = t; 3) х = 0, у = 2 = - 3t + 1. 1011. (9; -4; 0), (3; 0; -2), (0; 2;-3).

1012. х = 5t + 4, у = - 11t - 7, z = - 2, 1013. (x - 1)/1 = (y - 2)/-3 = (z + 7)/-8 1014.(x - 2)/6 = (y + 1)/-1 = (z + 3)/7. 1015. х = 3t + 3, y = 15t + 1, z = 19t - 3. 1016. а = {1;1;3}; с = {λ;λ; 3λ}, где λ - любое число, не равное нулю. 1017. а = - 2i + 11j + 5k; а = - 2λi + 11λj + λk, где λ - любое число, не равное нулю.

1018. (x - 2)/2 = (y - 3)/-4 = (z + 5)/-5. 1019. (x - 2)/2 = (y + 1)/7 = z/4. Решение. Полагая, например, z₀ = 0, находим из данной системы: х₀ = 2, ₀ = - 1; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: М₀(2; - 1; 0). Теперь найдем направляющий вектор. Имеем n₁ ={1; -2; 3}, n₂ = {3; 2; -5}; отсюда а = [n₁n₂] = {4; 14; 8}, т. е. l = 4, m = 14, n = 8. Подставляя найденные значения х₀, y₀, z₀ и l, m, n равенства (x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n получим канонические уравнения данной прямой: (x - 2)/4 = (y + 1)/14 = z/8 или (x - 2)/2 = (y + 1)/7 = z/4; 2) x/-5 = (y + 1)/12 = (z - 1)/13; 3) (x - 3)/1 = (y - 2)/2 = z/1.

1020. 1) x = t + 1, y= - 7t, z = -19t - 3; 2) x = - t + 1, y = 3t + 2, z = 5t - 1. 1023.60°. 1024. 135°. 1025. cosφ = ± 4/21 1027. l = 3. 1029.(x + 1)/2 = (y - 2)/-3 = (z + 3)/6. 1030 (x + 4)/3 = (y + 5)/2 = (z - 3)/-1. 1031. х = 2t - 5, y = -3t + 1, z = -4t. 1032. ϑ = 13. 1033. d = 21. 1034. x = 3 - 6t, y = - 1 + 18t, z = - 5 + 9t.

1035. x = - 7 + 4t, у = 12 - 4t, z = 5 - 2t. 1036. x = 20 - 6t, y = - 18 + 8t, z = - 32 + 24t; (2; 6; 40). 1037. Уравнения движения точки M: х = - 5 + 6t,y = 4 - 12t, z = - 5 + 4t; уравнения движения точки N: х = -5 + 4t, y = 16 - 12t, z = - 6 + 3t; 1) Р (7; -20; 3); 2) за промежуток времени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) М₀Р = 28, N₀P = 39. 1040. 1) (2; -3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости; 8) прямая лежит на плоскости.

1041. (x - 2)/2 = (y + 4)/5 = (z + 1)/3. 1042. (x - 2)/6 = (y + 3)/-3 = (z + 5)/-5. 1043. 2x - 3y + 4z - 1 = 0. 1044. х + 2у + 32 = 0. 1045. m = - 3. 1046. С = - 2. 1047. A = 3, D = - 23. 1048. A = -3, B = 4 1/2 . 1049.l = - 6, С = 3/2. Л 40

1050. (3; -2; 4). Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, проведенной из точки Р перпендикулярно к этой прямой. Прежде всего заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2} будет являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Р (2; -1; 3) и имеет нормальный вектор n = {3; 5; 2}, будет иметь вид 3 (х - 2) + 5 (у + 1) + 2(z - 3) = 0 или 3х + 5у + 2z - 7 = 0. Решая совместно уравнения x = 3t, у = 5t - 7, 2 = 2t + 2, 3х + 5у + 2z - 7 = 0, найдем координаты искомой проекции: х = 3, у = - 2, z = 4. 1051. Q (2; -3; 2). 1052. Q (4; 1; -3).

1053. (1; 4; -7). Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с уравнениями прямой, проведенной' из точки Р перпендикулярно к этой плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной плоскости {2; -1; 3} будет являться направляющим вектором искомой Прямой. Параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку Р (5; 2; -1) и имеет направляющий вектор а = {2; -1; 3}, будут иметь вид х = 2t+ 5, y = -t + 2, z = 3t - 1. Решая совместно уравнения 2х - у + 3z + 23 = 0, х = 2t + 5, у = -t + 2, z = 3t - 1, найдем координаты искомой проекции: х = 1, у = 4, z = - 7. 1054. Q (-5; 1; 0). 1055. Р (3; -4; 0). Указание. Задача может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что точки Л и В расположены по одну сторону от плоскости Оху; 2) находим точку, симметричную одной из данных точек относительно плоскости Оху, например точку В₁ симметричную точке В; 8) составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и B ; А) решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением плоскости Оху, получим координаты искомой точки.

1056. Р (-2; 0; 3). 1057. Р (-2; -2; 5). 1058. Р(-1;3;-2). 1059. 1) Р (-25; 16; 4); 2) за промежуток времени, равный 5; 3) M₀P = 60. 1060. x = 28 - 7,5t, y = - 30 + 8t, z = - 27 + 6t; 1) Р (-2; 2; -3); 2) от t₁ = 0 до t₂ = 4; 3) М₀ = 50.. 1061. За промежуток времени, равный 3, 1062. d = 7. Решение. Выберем на прямой (x + 3)/3 = (y + 2)/2 = (x - 8)/-2 какую нибудь точку, например M₁ (-3; -2; 8); будем считать, что направляющий вектор прямой а = {3; 2;-2} приложен в точке M₁.

Модуль векторного произведения векторов a и M₁P определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р, будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстояния d имеем формулу d = |[aM₁P]]|/|a|. Теперь вычислим координаты вектора M₁P, зная координаты его конца и начала: M₁P = {4; 1; -10}. Найдем векторное произведение векторов а и M₁P: [аM₁P] Определим его модуль:

| [aM₁P] | = √(l8² + 22² + 5²) = √833 = 7√17. Вычислим модуль вектора a: |а| = √(9 + 4 + 4) = √17. Найдем искомое расстояние: d = 7√17/√17 = 7 . 1063. 1) 21; 2) 6; 3) 15. 1064. d = 25.

1065. 9x + 11y + 5z - 16 = 0. 1068. 4x + 6y + 5z - l = 0. 1070. 2x - 16y - 13z + 31=0. 1072. 6x - 20y - 11z + 1 = 0. 1074. (2;-3;-5). 1075. Q (1; -2; 2). 1076. Q (1; -6; 3). 1077. 13x - 14y + 11z + 51 = 0. 1079. x - 8y- - 13z + 9 = 0.

1081. (x - 3)/5 + (y + 2)/-6 = (z + 4)/9. 1082. x = 8t - 3, y = - 3t - 1, z = -4t + 2. 1083. 1) 13; 2) 3; 3) 7. 1084. 1) x² + y² + z² = 81; 2) (x - 5)² + (y + 3)² + (z - 7)² = 4; 3) (x - 4)² + (y + 4)² + (z + 2)p = 36; 4) (x - 3)² + (y + 2)² + (z - l)² = 18; 5) (x - 3)² + (у + l)² + (z - l)² = 21; 6) x² + y² + z² = 9; 7) (x - 3)² + (y + 5)² + (z + 2)² = 56; 8) (x - l)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 49; 9) (x + 2)² + (y - 4)² + (z - 5)² = 81. 1085. (x - 2)² + (у - 3)² + (z + 1)² = 9 и x² + (y + 1)² + (z + 5)² = 9.

1086. R = 5. 1087. (x + l)² + (у - 3)² + (z - 3)² = 1 . 1088. (x + l)² + (y - 2)² + (z - 1)² = 49. 1089. (x - 2)² + (y - 3)² + (z + l)² = 289. 1090. 1) С (3; -2; 5), r = 4; 2) С (-1; 3; 0), r = 3; 3) С (2; 1; -1), r = 5; 4) С (0; 0; 3), r = 3; 5) С (0; -10; 0), r = 10. 1091. x = 5t - l, y = -t + 3, z = 2t - 0,5

1093. 1) Вне сферы; 2) и 5) на поверхности сферы; 3) и 4) внутри сферы. 1094. а) 5; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу; 2) плоскость касается сферы; 3) плоскость проходит вне сферы. 1096. I) Прямая пересекает сферу; 2) прямая проходит вне сферы; 3) прямая касается сферы. 1097. М₁ (-2; -2; 7), d = 3. 1098. С (-1; 2; 3), R = 8. 1099. (х - 1)² + (у - 2)² + (z - 1)² = 36, 2x - z - 1 = 0. 1100. (х - 1)² + (y + 1)² + (z + 2)²2 = 65, 18х - 22у + 5z - 30 = 0. 1101. (х - 2)² + у² + (z - 3)² = 27, x + у - 2 = 0

1103. 5х - 8y + 5z - 7 = 0. 1104. x² + y² + z² - 10x + 15y - 25z = 0. 1105. x² + у² + z² + 13x + 9у - 9z - 14 = 0. 1106. x² + (y + 2)² + z² = 41. 1107. 6x - 3у - 2z - 49 = 0. 1108. (2; -6: 3). 1109. а = ±6.

1110. 2x - y - z + 5 = 0. 1111. x₁x + y₁y + z₁ = r² 1112. A²R² + B²R² + C²R² = D². 1113. (x₁ - α)(x - α) + (y₁ - β)(y - β) + (z₁ - γ)(z - γ) = r²

1114. 3x - 2y + 6z - 11 = 0, 6x + 4y + 2z - 30 = 0, 1115. x + 2у - 2z - 9 = 0, х + 2y - 2z + 9 = 0. 1116.4x + 3z - 40 = 0, 4x + 3z + 10 = 0. 1117. 4x + 6y + 5z -103 = 0, 4x + 6y + 5z + 205 = 0. 1118. 2x - 3у + 4z - 10 = 0, 3x - 4y + 2z - 10 = 0. 1120. x - у - z - 2 = 0. 1122. Ах + By + Сz + D = 0. 1123. x cosα + у cosβ + z cos γ - р = 0. 1124. d = |r₁n⁰ - p |; , d = | x₁ cosα + у₁ cos β + z cos γ - р |.

1125. (r₂ - r₁)(r - r₁) = 0; (x₂ - x₁)(x - x₁) + (y₂ - y₁)(y - y₁) + (z₂ - z₁)(z - z₁) = 0; = 0;

1153. 3, √3; (2; 3; 0), (2; -3; 0), (2; 0; √3), (2; 0; -√3). 1154. 4,3; (4; 0; - 1), (-4; 0; -1). 1155. 15; (0; - 6; -3/2)

1156. Уравнения проекции эллипса. Указание. Центр сечения проектируется в центр проекции. 1158. Гипербола; (1; -1; -2) - центр этой гиперболы.

1159. 1) Эллипс; (-3/2; 1; 13/4) - центр этого эллипса; 2) пара- бола; не имеет центра; 3) гипербола; (2; -3; -4) - центр этой гиперболы. 1160. а) l < |m| < √2; б) |m| < 1. 1161. а) m ≠ 0 и m ≥ - 1/4, причем в случае m = - 1/4 - вырожденный эллипс - точка; б) m = 0.

1162. (9; 5; -2). 1163. (3; 0; -10). 1164. (6; -2; 2). 1165. m = ±18. 1166. 2х - у - 2z - 4 = 0. 1167. х - 2у + 2z - 1 = 0, x - 2y + 2z + 1 = 0; 2/3. 1168. x²/9 - (y² + z²)/25 = 0. 1169. x²/36 + y²/16 + z²/9 = 1

1170. q₁ = 2/5, q₂= 4/5. 1172. x²/a² + (y² + z²)/b² = 1.

1173. (x² + y²)/a² - z²/c² = 1. 1178. x²/p - y²/q = 2z. 1180, 1) (3; 4; -2) и (6; -2; 2); 2) (4; -3; 2) - прямая касается поверхности; 3) прямая и поверхность не имеют общих точек; 4) прямая лежит на

1193. 35x² + 35y² - 52z² - 232xy - 116xz + 116yz + 232x - 70y - - 116z+ 35 = 0. 1194. ху + хг + уz = 0 - ось конуса проходит в первом и седьмом октантах; ху + xz - уz = 0 - ось конуса проходит во втором и восьмом октантах; ху - xz - yz = 0 - ось конуса проходит в третьем и пятом октантах; ху - xz + yz = 0 - ось конуса проходит в четвертом и шестом октантах. 1195. 9х² - 16у² - 16z² - 90х + 225 = 0. 1196. х² + 4у² - 4z² + 4ху + 12хz - 6уz = 0, 1197. 4х² - 15у² -6z² - 12хz - 36x + 24z + 66 = 0. 1198. 16х² + 16у² + 13z² - 16x² + 24уz + 16х - 24у - 26z - l3l = 0. 1199. х² - у² - 2xz + 2yz + х + у - 2z = 0. 1200. 5х² + 5у² + 2z² - 2ху + 4xz + 4уz - 6 = 0.

1201. 5х² + 8у² + 5z² + 4ху + 8x² - 4уz + 6х + 24у - 6z - 63 = 0. 1202. 5х² + 10у² + 13z² + 12ху - 6хz + 4уz + 26х + 20у - 38z + 3 = 0. 1203. х² + 4у² + 5z² - 4ху - 125 = 0. 1204. 1) 18; 2) 10; 3) 0; 4) -50; 5) 0; 6) х² - х₁; 7) 0; 8) 1. 1205. 1) х = 12; 2) х = 2; 3) x₁ = - 1, х₂ = -4; 4) ₁ = -1/6, х₂ = 3/2; 5) x_1,2 = ± 2i; 6) x₁ = 2, х_{2 , 3} = -2 ± i; 7) х = (-1)ⁿ π/12 + π/2n , где n - целое число; 8) х = π(2n + 1)/6, где n - любое целое число.

1206. 1) х > 3; 2) х > -10; 3) х< -3; 4) - 1< х < 7, 1207. 1) х = 16, у = 7; 2) х = 2, у = 3; 3) система не имеет решений; 4) система имеет бесконечно много различных решений, каждое из которых может быть вычислено по формуле у = (x - 1)/√3

где численные значения х задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения у; 5) x = (ac + bd)/(a ² + b²), y = (bc + ad)/(a ² + b²)

6) система не имеет решений. 1208. 1) а ≠ - 2; 2) а = -2, b ≠ 2; 3) а = -2, b = 2. 1209.a = 10/13. 1210. 1) x = -2t, y = 7t, z = 4t; 2) x = 2t, у = 3t, z = 0; 3) х = 0, y = t, z = 3t; 4) х = 0, y = t, z = 2t; 5) х = 2t, y = 5t, 2 = 4t; 6) х = 4t, y = 2t, z = 3t; 7) х = t, у = 5t, z = 11t; 8) х = 3t, у = 4t, z = 11t; 9) х = 0, y = t, z = 3t;

10) х = (а + 1)t, y = (1 - а²)t, z = - (а + 1)t при условии, что а ≠ - 1 (если а = -1, то любое решение системы состоит из трех чисел х, у, z, где х, у - какие угодно, а z = х - y); 11) х = (b - 6)t, у = (3а - 2) t, z = (ab - 4)t при условии, что а ≠ 2/3 или b ≠ 6

|если а = 2/3 и b = 6, то х, y произвольны, a z = 2/3x + 2y); 12) х = 3 (1 - 2а)t, у = (ab + 1)t, z = 3 (b + 2)t при условии, что а ≠ 1/2 или b ≠ - 2 (если а = 1/2 и b = -2, то х, y произвольны, а z = 2(3y -х)). 1211. -12. 1212. 29. 1213. 87. 1214. 0. 1215. -29. 1216. 2а³.

1223. -4. 1224. 180. 1225. 87. 1226.0. 1227. (х - у ) (y - z)(z - х). 1229. 2а²b. 1230. sin 2а. 1231. xyz (х - у) (у - z) (z - х). 1232. (а + b + с) (а² + b² + с² - аb - ас - bс). 1234. 1) х = -3; 2) x₁ = -10, х₂ = 2. 1235. 1) х > 7/2; 2) -6 < х < -4. 1236. x = 24 1/2, y = 21 1/2 , z = 10. 1237. х = 1, y = 1, z = 1. 1238. х = 2, y = 3, z = 4. 1239. х = 1, y = 3, z = 5. 1240. х = 13 1/4 , y = 8 1/4 , z = 14 1/2. 1241. х = 2, y = -1, z = 1. 1242. х = (b + c)/2, у = (a - b)/2, z = (a - c)/2.

1243. x= (a + b)/2, y = (b + c)/2, z = (a + c)/2.

1244. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам х = 2z - 1, у = z + 1, где численные значения 2 задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения х, у. 1245. Система не имеет решений. 1246. Система не имеет решений. 1247. 1) а ≠ - 3; 2) а = -3, b ≠ 1/3; 3) а = -3, b = 1/3. 1249. Система имеет единственное решение; х - у - 2 = 0. 1250. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам х = 2t, у = -3t, z = 5t, где численные значения t задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения х, у, z.

1251. а = 5. 1252. 30. 1253. -20. 1254. 0. 1255. 48. 1256. 1800. 1257. (b + c + d)(b - c - d)(b - c + d)(b + c - d). 1258. (а + b + с + d)(а + b - с - d)(а - b + с - d)(а - b - с + d). 1259. (а + b + с + d) (а - b + с - d) [(а - с)² + (b - d)²]. 1260. (be - cd)².