Деление отрезка в данном отношении
Решение задачЕсли точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки М1(х1; y1), М2(х2; y2), и дано отношение λ = M1M/MM2, в котором точка М делит отрезок M1M2, то координаты точки М
определяются по формулам
x = (x1 + λx2)/(1 + λ), y = (y1 + λy2)/(1 + λ)
Если точка М является серединой отрезка M1M2, то ее координаты определяются по формулам
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2
86. Даны концы A(3; -5) и 6(-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.
87. Центр тяжести однородного стержня находится в точке M(1; 4), один из его концов в точке Р(-2; 2). Определить кооодинаты точки Q другого конца этого стержня
88. Даны вершины треугольника A(1; -3), 6(3; -5) и С(-5; 7). Определить середины его сторон.
89. Даны две точки A(3; - 1) и B(2; 1). Определить:
1) координаты точки М, симметричной точке A относительно точки B;
2) координаты точки N, симметричной точке В относительно точки A.
90. Точки М(2; -1), N(-1; 4) и Р(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.
91. Даны три вершины параллелограмма A(3; -5), B(5; -3), С(- 1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.
92. Даны две смежные вершины параллелограмма A(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины.
93. Даны три вершины A(2; 3), 6(4; -1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.
94. Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.
95. Отрезок, ограниченный точками A (1;-3) и B(4; 3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
96. Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
97. Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3) и С(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.
98. Даны вершины треугольника A( - 1; -1), B(3; 5), С(-4; 1). Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
99. Даны вершины треугольника A(3; -5), B(1; - 3), С(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине B.
100. Даны три точки A(1; -1), B(3; 3) и С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
101. Определить координаты концов А и B отрезка, который точками Р(2; 2) и Q (1; 5) разделен на три равные части.
102. Прямая проходит через точки М1(-12; -13) и М2(- 2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.
103. Прямая проходит через точки М(2; -3) и N(-6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна -5.
104. Прямая проходит через точки А(7; -3) и B(23;. -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
105. Прямая проходит через точки A(5; 2) и B(-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
106. Даны вершины четырехугольника A(-3; 12), B(3; -4), С(5; -4) и D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ BD.
107. Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), С(6; -2) и D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и BD.
108. Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x1; у1), B(x2; у2) и С(x3; у3). Определить координаты ее центра тяжести,
Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан.
109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его - точки A(2; -3) и B(-5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.
110. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х1; y1), B(x2; у2) и С(x3; у3). Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести Обеих пластинок совпадают.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.
111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси
координат направлены по ребрам пластинки (рис. 4). Определить центр тяжести этой пластинки.
112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 5). Определить центр тяжести этой пластинки.
113. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести пластинки.
114. В следующих точках А(х1; y1), B(x2; у2) и С(x3; у3) сосредоточены массы m, n и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трех масс.
115. Точки А (4; 2), В (7; -2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника.