Двойное векторное произведение

Пусть вектор а умножается вектор но и а вектор b, после чего полученный вектор [аb] умножается снова векторно на вектор с. В результате получается так называемое двойное векторное произ- ведение [[аb]с] (ясно, что [[аb] с] - вектор). Умножая вектора векторно на [bс], получим двойное векторное произведение [a[bс]|.

Вообще говоря,

[[аb]с] ≠ [а [bс]].

Докажем, что имеет место тождество

[[аb] с] = b (ас) - а (bс).

Доказательство. Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и b (считая, что векторы а, b приведены к общему началу). В таком случае будем иметь:

а = {X₁;0;0}, b = {Х₂; Y₂}; 0}, с = {Х₃; У₃; Z₃}.

Теперь находим:

[аb] = {0; 0; Х₁У₂),

[[аЬ] с] = {- X₁Y₂Y₂; Х₁Y₂Х₃; 0}. (1)

С другой стороны,

ас = Х₁Х₃; b(ас) = {Х₁X₂X₃; Х₁Y₂X₃; 0},

bс = Х₂Х₃ + Y₂Y₃, а (bс) = (Х₁Х₂Х₃ + X₁Y₂Y₃; 0; 0),

Следовательно,

b (ас) - а (bс) = {- Х₁Y₂Y₃; Х₁Y₂X₃; 0}. (2)

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем:

[[ab] с] = b (ас) - а (bс),

что и требовалось.

879. Доказать тождество [а [bс]] = b(ас) - c(ab).

880. Решить задачу 864, используя тождества, данные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879.

881. Даны вершины треугольника А (2; -1; -3), B(1; 2; -4) и С(3; -1; -2). Вычислить координаты вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при условии, что вектора h образует с осью Оу тупой угол и что его модуль равен 2√34.

882. Считая, Что каждый из векторов а, b, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство [а [bс]] = [[аb] с],

883. Доказать тождества:

1) [а [bс]] + [b [са]] + [с [аb]] = 0;

2) [аb] [cd] = (ас)(bd) - (ad)(bc);

3) [ab] [cd] + [ас] [db] + [ad] [bc] = 0;

4) [[аb] [cd] + (abd) - d (abc);

5) [аb] [bc] [ca] = (abc)²;

6) [а [а [а [аb]]]] = а⁴b при условии, что векторы а и b взаимно перпендикулярны;

7) [а [b [cd]]] = [ас] (bd) - [ad] (bc);

8) [a [b [cd]]] = (acd) b - (аb) [cd];

9) [аb]² [ac]² = ([ab] [ac] )² = a²(abc)²;

10) [[аb] [bc]] [[bс] [ca]] [[ca] [аb]] = (аbс)⁴;

11) (аb) [cd] + (ас) [db] + (ad) [be] = a (bcd);

884. Три некомпланарных вектора a, b и с приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [аb] + [bс] + [са].