Линейные операции над векторами

Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника) Построение суммы а + b изображено на рис. 42.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) . правилом параллелограмма: если векторы а и b приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а + b есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала а и b (рис. 43). Отсюда сразу следует, что a + b = b + а.

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 44, где изображено построение суммы четырех векторов а, b, с, d).

Разностью а - b двух векторов а и b называется вектор, который в сум- а ме с вектором Ь составляет вектор а. Если два вектора а и b приведены к общему началу, то разность их а - b есть вектор, идущий из конца b («вычитаемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимнообратными: если один из них обозначен символом а, то другой обозначается символом -а. Легко видеть, что а - b = а +(-b). Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемому».

Произведением ом (или также aα) вектора а на число α называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора а на модуль числа α; он параллелен вектору а или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор а, если α - число положительное, и противоположно вектору а, если α - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме их проекций на эту же ось:

пр_u(α₁ - α₂ + ... + α_n) - пр_uα₁ - пр_uα₂ + ... + пр_uα_n.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается «а то же число:

пр_u (aα) = αnp_ua.

В частности, если

а = {Х₁; У₁; Z₁), b = {X₂; Y₂; Z₂}

то

а + b = {X₁ + Х₂; Y₁ + У₂; Z₁ + Z₂}

и

а - b = {X₁ - Х₂; Y₁ - У₂; Z₁ - Z₂}

Если а = (X; Y; Z), то для любого числа α

aα = {αX; αY; αZ}.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

а = {Х₁; Y₁; Z₁}, b = {Х₂; Y₂; Z₂)

является пропорциональность их координат:

X₂/X₁ = Y₂/Y₁ = Z₂/Z₁.

Тройка векторов i, j, k называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор i лежит на оси Ох, вектор i - на оси Оу, вектор k - на оси Oz;

2) каждый из векторов i, j, k направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы i, j, k - единичные, т. е. |i| = 1, |j| = 1, |k| = 1

Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть разложен по базису i, j, k, т. е. может быть представлен в виде:

а = Xi + Yj + Zk;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора а (т. е. X, Y, Z суть проекции вектора а на координатные оси).

761. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) а + b; 2) a - b; 3) b - а; 4) -а - b.

762. Даны: |а| = 13, |b| = 19 и |а + b| = 24. Вычислить |а - b|.

763. Даны: |а| = 11, |b| = 23 и |а - b| = 30. Определить |а + b|.

764. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причем |а| = 5 и |b| = 12. Определить |a + b| и |а - b|.

765. Векторы а и b образуют угол φ = 60°, причем |а| = 5 и |b| = 8. Определить |а + b| и |а - b|.

766. Векторы а и b образуют угол φ = 120°, причем |а| = 3 и |6| =5. Определить |a + b| и |а - b|.

767. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы имели место следующие соотношения: 1) |а + b| = |а - b|; 2) |а+b| > |а-b|; 3) |а+b| <| а-b|.

768. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b.

769. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) За; 2) - 1/2b; 3) 2а + 1/3b; 4) 1/2a - 3b.

770. В треугольнике ABC вектор АB = m и вектор АC = n. Построить каждый из следующих векторов: 1) (m + n)/2; 2) (m - n)/2; 3) (n - m)/2; 4) -(m + n)/2. Принимая в качестве масштабной единицы 1/2 |n|, построить также векторы: 5) |n| m + |m|n; 6) |n|m - |m|n.

771. Точка О является _центром тяжести треуголь-ника АБС. Доказать, что OA + OB + OC = 0.

772. В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его сторонами: АB = m, BC = n, CD = р, DE = q и EA = r. Построить векторы: 1) m - n + p - q + r; 2)m + 2р + 1/2r; 3) 2m + 1/2n - Зр - q + 2r.

773. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (рис заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АB = m, АD = n и АA' = p . Построить каждый из следующих векторов:

1) m + n + р; 2) m + n + 1/2p;

3) 1/2m + 1/2n + р; 4) m + n - р;

5) -m - n + 1/2p.

774. Три силы М, N и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей R, если известно, что |М| = 2кГ, |N| = 10 кГ и |Р| = 11 кГ.

775. Даны два вектора а = {3; -2; 6} и b = {-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) а + b; 2) а - b; 3) 2а; 4) - 1/2b; 5) 2а + 3b; 6) 1/3a - b.

776. Проверить коллинеарность векторов а = {2; -1; 3} и b = {-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены - в одну или в противоположные стороны.

777. Определить, при каких значениях α, β векторы а = 2i + 3j + βk и b = ai - 6j + 2k коллинеарны.

778. Проверить, что четыре точки А (3; -1; 2), B(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.

779. Даны точки А(- 1; 5; -10) B(5;-7; 8), С(2; 2; -7) и D(5; -4; 2). Проверить, что векторы АB и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены - в одну или в противоположные стороны.

780. Найти орт вектора а = {6; -2; -3}.

781. Найти орт вектора а = {3; 4; -12}.

782. Определить модули суммы и разности векторов а = {3; -5; 8} и b = {- 1; 1; -4}.

783. Дано разложение вектора с по базису i, j, k: с = 16i - 15j + 12k. Определить разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что |d| = 75.

784. Два вектора а = {2; -3; 6} и b = {- 1; 2; -2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и b, при условии, что |с| = 3√42.

785. Векторы АB = {2; 6; -4} и АC = {4; 2; -2} совпадают со сторонами треугольника ABC. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами AM, BN, СР.

786*). Доказать, что если р и q - какие угодно не- коллинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: a = αp + αq.

Доказать, что числа α и β векторами а, р и q определяются однозначно. (Представление вектора а в виде a = αp + βq называется разложением его по базису р, q; числа α и β называются коэффициентами этого разложения.)

Доказательство. Приведем векторы а, р и q к общему началу, которое обозначим буквой О (рис. 46). Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведем прямую, параллельную вектору q. Точку пересечения этой прямой с линией действия вектора р обозначим через А_p. Аналогично, проводя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим в пересечении с линией действия вектора q точку A_q.

По правилу параллелограмма получим:

а = OA = OA_p - OA_q. (1)

Так как векторы OA_p и р лежат на одной прямой, то вектор OA_p может быть получен умножением вектора р на некоторое число α

OA_p = αр. (2)

Аналогично

OA_p = βq. (3)

Из равенств (1). (2) и (3) получаем: а = αр + βq. Тем самым возможность требуемого разложения доказана. Остается доказать, что коэффициенты α и β этого разложения определяются однозначно.

*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полностью.

Предположил, что вектор а имеет два разложения;

а = αр + βq, а = α'р + βq,

и, например, α' ≠ α. Вычитая почленно одно из другого, получаем:

(α' - α)р + (β' - β)q = 0 или р = (β - β')/(α' - α)q.

Но это равенство означает коллинеарность векторов р и q, которые, однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно, неравенство α' ≠ α невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно неравенство β' ≠ β. Таким образом,α'= α, β' = β,т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не может.

787. На плоскости даны два вектора р = {2; -3}, q = { 1; 2}. Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису р, q.

788. На плоскости даны три вектора a = {3; -2}, b = {-2; 1} и с = {7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других.

789. Даны три вектора а = {3; -1}, b = {1; -2}, с = {- 1; 7}. Определить разложение вектора р = а + b + с по базису а, b.

790. Принимая в качестве базиса векторы AB = b и AC = с, совпадающие со сторонами треугольника ABC, определите разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

791. На плоскости даны четыре точки A (1; -2), В (2; 1), С(3; 2) и D (-2; 3). Определить разложение векторов AD, BD, CD и AD + BD + CD, принимая в качестве базиса векторы AB и AC.

792. Доказать, что если р, q и r - какие угодно некомпланарные векторы ), то всякий вектор а пространства может быть представлен в виде: а = αр + βq + γr. Доказать, что числа α, β, γ векторами а, р, q и r определяются одйозначно. (Представление вектора а в виде a = αр + βq + γr называется разложением его по базису р, q, r. Числа α, β и γ называются коэффициентами этого разложения.)

793. Даны три вектора р = {3; -2; 1}, q = {- 1; 1; -2}, r = {2; 1; -3}. Найти разложение вектора с = {11; -6; 5} по базису р, q, r.

*) Три вектора называются некомпланарными, если после приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.

794. Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, b = {1; -1; 2}, с = {2; 2; -1} и d = {3; 7; -7}. Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.