Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки M (относительно заданной системы) называются числа p = OM и (рис. 2). Угол Θ при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или полярным радиусом, число Θ - второй координатой, или полярным углом точки M ( Θ называют также амплитудой)* ).

Символ M(p;Θ) обозначает, что точка M имеет полярные координаты р и Θ.

Полярный угол 0 имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ±2nπ, где n- целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам -π < Θ ≤ +π, называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует врашать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных

углов должен быть обычным, т. е. положите чьными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той нее точки осуществляется по формулам

х = р cosΘ, у = р sinΘ.

В этом же случае формулы

р = √(x² + y²), tgΘ = y/x

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

26. Построить точки, заданные полярными координатами: A(3; π/2) В(2; π), C(3; -π/4), D(4; З 1/7), E(5; 2) и F(l; -1) (для точек D, Е и F выполнить построение приближенно, пользуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам M₁(3;π.4), М₂(2; -π/2), М₃(3;-π/3), М₄(1; 2) и М₅(5; -1), заданным в полярной системе координат.

28. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам M₁(1;π.4), M₂(5;π/4), М₃(2;-π/3), М₄(4;5/6π) и М₅(3; -2), заданным в полярной системе координат.

29. В полярной системе координат даны две вершины А (З; -4/5π) и (5; 3/14π) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с по-люсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.

30. В полярной системе координат даны точки А(8; -2.3π) и В(6;π.3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.

31. В полярной системе координат даны точки A(3; π/2), B(2;-π/4), С(1;π), D(5;-3/4π), E(3; 2) и F{2; 1). Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.

32. В полярной системе координат даны точки М₁(3;π/3), M₂(l; 2/3π), М₃ (2;0), М₄(5; π/4), M₅(3; -2/3π) и M₆(l; 11/12π). Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку М₁. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.

33. В полярной системе координат даны точки M₁(12; 9/4π) и М₂( 12; -2/9π). Вычислить полярные ко-ординаты середины отрезка, соединяющего точки M₁ и М₂.

34. В полярной системе координат даны точки M₁(p₁; Θ₁) и М₂(р₂; Θ₂). Вычислить расстояние d между ними.

35. В полярной системе координат даны точки M₁(5 ; π/4) и М₂(8 ; -π/12). Вычислить расстояние d между ними.

36. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата M₁(12 ; -π/10) и М₂(2 ; π/15). Определить его площадь.

37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата P(6 ; -7/12π) и Q(4 ; 1/6π). Определить его площадь.

38. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; -1/12π) и В(8; 7/12π).Определить его площадь.

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки A (p₁; Θ₁) и B(р₂; Θ₂). Вычислить площадь этого треугольника.

40. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; π/4) и B(4; π/12). Вычислить площадь этого треугольника.

41. Вычислить площадь треугольника, вершины которого А (3; 1/8π), В(8; 7/24π) и С(6; 5/8π) заданы в полярных координатах.

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки M₁(6; π/2), M₂(5;0), M₃(2; π/4), M₄(10; -π/3), M₅(8; 2/3π), M₆(12; -π/6). Определить полярные координаты этих точек.

43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки M₁(0; 5), М₂(-3; 0),М₃(√3; 1), M₄(-√2; -√2) Определить полярные координаты этих точек.