Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях

701. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек F₁(- с; 0) и F₂(c; 0) есть постоянная величина а². Такое геометрическое место точек называется овалом Кассини (рис. 23).

702. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек F₁(-a; 0) и F₂(a; 0) есть постоянная величина а² Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (рис. 24). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом - рассматривая ее как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение

лемнискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с началом координат.

703. Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из начала коор-динат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади S.

Указание. Составить уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох.

704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).

Указание. Повернуть координаты оси на угол в 45°.

705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой скоростью ω.

Составить в данной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью ϑ (спираль Архимеда, рис. 25).

706. Даны прямая х = 2r и окружность радиуса r, которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис. 26). При вращении' луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую циссоидой. Составить уравнение циссоиды.

707. Даны прямая х = а (а > 0) и окружность диаметра а, проходящая через начало координат О и касающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, параллельные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка M

пересечения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую верзьерой. Составить ее уравнение.

708. Из точки A (-а; 0), где а > 0, проведен луч АВ (рис. 28), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки BM и BN одинаковой длины b (b = const). При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую конхоидой. Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

709. Из точки. А (- а; 0), где а > 0, проведен луч АВ (рис. 29), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки ВМ и BN, равные ОВ. При вращении луча точки М и N описывают кривую, называемую строфоидой. Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

710. Из начала координат проведен луч, пересекаю-щий данную окружность х² + у² = 2ах (а > 0) в точке В (рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной длины Ь. При вращении луча точки М и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля (рис. 30). Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

711. Отрезок длины 2а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. Точка М описывает кривую, называемую четырехлепестковой розой.

712. Отрезок длины а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях (рис. 32). Через концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точке Р. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок Эта траектория называется астроидой.

Указание. Составить сначала параметрические уравнения астроиды, выбирая параметр t, как указано на рис. 32 (затем исключить параметр t).

713. Из точки В пересечения луча ОB с окружностью х² + у² = ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. Из точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СМ. Вывести уравнение траектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с

положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

714. Нить, намотанная на окружность х² + y² = y², разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от окружноси, она остается касательной к ней (рис. 33).

Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положением конца является точка A(а; 0), где а > 0. Линия, о которой идет речь, называется эвольвентой круга.

715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (рис. 34). Вывести параметрические уравнения циклоиды, принимая в качестве параметра t угол, на который поворачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится в начале координат. Исключить параметр t из полученных уравнений.

716. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х² + y² = a², оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется кардиоидой (рис. 35). Вывести параметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А. Доказать, что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см, задачу 710).

717. Круг радиуса а катится без скольжения по окру-жности х² + y² = b², оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется эпициклоидой (рис. 36). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной;- считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.

718. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х² + y² = b², оставаясь внутри нее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется гипоциклоидой (рис. 37). Вывести параметрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве

параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что астроида (см задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды,