Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид

p = p/(1 - ε cosΘ) (1)

где р, Θ - полярные координаты произвольной точки линии, р - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси), ε - эксцентриситет (в случае параболы ε = 1). Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокуйу директрисы.

628. Дано уравнение эллипса x²/25 + y²/16 = 1. Составить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.

629. Дано уравнение гиперболы x²/16 + y²/9 = 1 Составить полярное уравнение ее правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе.

630. Дано уравнение гиперболы x²/25 + y²/144 = 1. Составить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.

631. Дано уравнение параболы у² = 6x. Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

632. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

1) p = 5/(1 - 1/2 cosΘ); 2) p = 6/(1 - cosΘ);

3) p = 10/(1 - 3/2 cosΘ) ; 4) p = 12/(2 - cosΘ) ;

5) p = 5/(3 - 4 cosΘ) ; 6) p = 1/(3 - 3 cosΘ) .

633. Установить, что уравнение p = 144/(13 - 5 cosΘ) ’ деляет эллипс, и найти его полуоси.

634. Установить, что уравнение p = 18/(4 - 5 cosΘ) деляет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси.

635. Установить, что уравнение p = 21/(5 - 2 cosΘ) опре-деляет эллипс, и составить полярные уравнения его директрис.

636. Установить, что уравнение p = 16/(3 - 5 cosΘ) я определяет правую ветвь гиперболы, и составить полярные уравнения директрис и асимптот этой гиперболы. 12

637. На эллипсе p = 12/(3 - √2 cosΘ) найти точки, полярный радиус которых равен 6. 15

638. На гиперболе p = 15/(3 - 4 cosΘ) найти точки, полярный радиус которых равен 3.

639. На параболе p = p/(1 - cosΘ) найти точки:

1) с наименьшим полярным радиусом;

2) с полярным радиусом, равным параметру параболы.

640. Дано уравнение эллипса x²/a² + y²/b² = 1. Составить его полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.

641. Дано уравнение гиперболы x²/a² - y²/b² = 1. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы.

642. Дано уравнение параболы у² = 2рх. Составить ее полярное уравнение при условии, • что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.