Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через

фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 19). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

у² = 2рх. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

x = - p/2

Фокальный радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т. е. длина отрезка FM) может быть вычислен по формуле

r = x + p/2

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит, в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис. 20), то ее уравнение будет иметь вид

у² = -2рх. (2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

x² = 2рy. (3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 21), и

x² = -2рy (4)

- если в нижней полуплоскости (рис. 22),

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

583. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр p = 3;

2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр Р = 0,5;

3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, и ее параметр p = 1/4

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, и ее параметр р = 3.

584. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

1) y² = 6x; 2) х² = 5у; 3) у² = - 4х; 4) х² = - у.

585. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А (9; 6);

2) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В (-1;3);

3) парабола расположена симметрично относительно оси О у и проходит через точку С(1; 1).

4) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4;- 8).

586. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.

587. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус E(0;-3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.

588. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) y = + 2√х; 2) у = + √ (- х); 3) у = - 3 √(- 2х);

4) y = - 2 √x; 5) x = +√(5y) 6) x = - 5√(- y);

7) х = - √(3y); 8) х = + 4√(- y);

Изобразить эти линии на чертеже.

589. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у² = 24x.

590. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у² = 20х, если абсцисса точки М равна 7.

591. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у² = 12х, если ордината точки М равна 6.

592. На параболе у² = 16x найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

593. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7;0) и уравнение директрисы х - 7 = 0.

594. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (α;β), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Ох;

2) в отрицательном направлении оси Ох.

595. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (α;β), параметр равен р, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Оу (т. е. парабола является восходящей);

2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. па-рабола является нисходящей).

596. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы: 1) y² = 4х - 8; 2) у² = 4 - 6х; 3) х² = 6у + 2; 4) х² - 2 - у.

597. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины A и величину параметра p: 1) у = 1/4 х² + х + 2; 2) у = 4х² - 8х + 7; 3) y =-1/6 х² + 2х - 7.

598. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершина А и величину параметра р:1) х = 2у² - 12y + 14;

2) x = - 1/4y² + y; 3) х = -у² + 2у - 1.

599. Установить, какие линии определяются следую-щими уравнениями:

1) у = 3 - 4 √(х - 1); 2) х = -4 + 3√(y + 5);

3) х = 2 - √(6 - 2у); 4) y = - 5 + √(-Зх - 21).

Изобразить эти линии на чертеже.

600. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса х - 5 = 0

601. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4;3) и директриса у + 1 = 0.

602. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса х - у - 1 = 0.

603. Даны вершина параболы A(6;-3) и уравнение ее директрисы 3x - 5у + 1 = 0, Найти фокус F этой параболы.

604. Даны вершина параболы A(-2; - 1) и урав-нение ее директрисы х + 2у - 1 = 0. Составить уравнение этой параболы.

605. Определить точки пересечения прямой x + y - 3 = 0 и параболы х² = 4у.

606. Определить точки пересечения прямой Зх + 4у - 12 = 0 и параболы у² = - 9х.

607. Определить точки пересечения прямой Зх - 2у + 6 = 0 и параболы у² = 6х.

608. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы - пересекает ли, касается или проходит вне ее: 1) х - y + 2 = 0, у² = 8х; 2) 8х + 3y - 15 = 0, х² = -3у; 3) 5х -у - 15 = 0, у² = - 5х.

609. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая y = kx + 2 1) пересекает параболу у² = 4х; 2) касается ее; 3) проходит вне этой параболы.

610. Вывести условие, при котором прямая у = kх + b касается параболы у² = 2рх.

611. Доказать, что к параболе у² = 2рх можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом k ≠ 0.

612. Составить уравнение касательной к параболе у² = 2рх в ее точке M₁(х₁; у₁).

613. Составить уравнение прямой, которая касается параболы у² = 8х и параллельна прямой 2х + 2у - 3 = 0.

614. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х² = 16у и перпендикулярна к прямой 2х+ + 4у + 7 = 0.

615. Провести касательную к параболе у² = 12х параллельно прямой Зх - 2y + 30 = 0 и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.

616. На параболе у² = 64х найти точку М₁, ближайшую к прямой 4х + Зy - 14 = 0, и вычислить расстояние d от точки M₁ до этой прямой.

617. Составить уравнения касательных к параболе у² = Збх, проведенных из точки A(2; 9).

618. К параболе у² = 2рх проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посредине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.

619. Из точки А (5; 9) проведены касательные к параболе у² = 10х. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

620. Из точки Р(-3;12) проведены касательные к параболе у² = 10х. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.

621. Определить точки пересечения эллипса x²/100 + y²/225 = 1 и параболы у² = 24x. х*

622. Определить точки пересечения гиперболы x²/20 - y²/5 = -1 и параболы у² = Зх

623. Определить точки пересечения двух парабол: y = х² - 2х+ 1, х == у² - 6у + 7.

624. Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

625. Из фокуса параболы у² = 12х под острым углом α к оси Ох направлен луч света. Известно, что tgα = 3/4. Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

626. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом.

627. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.