Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается обычно через 2а, Фокусы гиперболы обозначают буквами F₁ и F₂, расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы 2а < 2с, или а < с.

Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

х²/a² + y²/b² = 1, (1)

где b = √(с² - а²). Уравнение вида (I) называется каноническим уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат -ее центром симметрии (рис. 18). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии-центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 18 вершины гиперболы суть точки А' и А.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть:

y = b/a x, y = - b/a x

Уравнение

- x²/a² + y²/b² = 1 (2)

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

x²/a² - y²/b² = 1, - x²/a² + y²/b² = 1

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Гипербола с равными полуоясми (а = b) называется равносторонней,; ее каноническое уравнение имеет вид

х² - у² = а² или - х² + у² = а².

Число

ε = c/a

где а - расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы ε > 1. Если М(х; у) - произвольная точка гиперболы, то отрезки F₁М и F₂M (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

r₁ = εх + а, r₂ = εх - а,

фокальные радиусы точек левой ветви - по формулам

r₁ = -εх - а, r₂ = -εх + а

Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями

x = -a/ε, x = a/ε

называются ее директрисами (см. рис. 18). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями

x = -b/ε, x = b/ε

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:

r/d = ε

515. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) ее оси 2а = 10 и 2b = 8;

2) расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 2b = 8;

3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 3/2;

4) ось 2а = 16 и эксцентриситет ε = 5/4;

5) уравнения асимптот у = ±4/3х и расстояние между фокусами 2с = 20;

6) расстояние между директрисами равно 22 2/13 и расстояние между фокусами 2с = 26; 39

7) расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b = 6;

8) расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет ε = 3/2;

9) уравнения асимптот у = ± 3/4 х и расстояние между директрисами равно 12 4/5.

516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцеитриситет ε = 5/3; оч и. 12

3) уравнения асимптот у = ±12/5х и расстояние между вершинами равно 48;

4) расстояние между директрисами равно 7 1/7 и эксцентриситет ε = 7/5;

5) уравнения асимптот у = ± 4/3x и расстояние между директрисами равно 6 2/5.

517. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

1) x²/9 - y²/4 = 1; 2) x²/16 - y² = 1; 3) x² - 4y² = 16;

4) x² - y² = 1; 5) 4x² - 9y² = 25; 6) 25x² -16y² = 1;

7) 9x² - 64y² = 1.

518. Дана гипербола 16x² - 9y² = 144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

519. Дана гипербола 16x² - 9у² = -144. Найти: 1) полуоси a и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

520. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы x²/4 - y²/9 = 1 и прямой 9x + 2y - 24 = 0.

521. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) y = +2/3√(x² - 9); 2) y = -3√(x² + 1)

3) x = -4/3√(y² + 9); 4) +2/5√(x² + 25)

Изобразить эти линии на чертеже.

522. Дана точка M₁(l0; - √5) на гиперболе - x²/80 - y²/20 = 1. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M₁.

523. Убедившись, что точка M₁(-5; 9/4) лежит на гилерболе x²/16 - y²/9 = 1, определить фокальные радиусы точки M₁.

524. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный ра-диус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

525. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки, М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

526. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки M₁ гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

527. Эксцентриситет гиперболы ε = 3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = -8. Вычислить расстояние от точки M₁ гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

528. Определить точки гиперболы - x²/64 - y²/36 = 1, расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

529. Определить точки гиперболы x²/9 - y²/16 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 7.

530. Через левый фокус гиперболы x²/144 - y²/25 = 1 про-веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы x²/16 - y²/25 = 1 (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).

532. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точки М₁(6; -1) и М₂(-8; 2√2) гиперболы;

2) точка M₁(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = √2;

3) точка M₁(9/2;-l) гиперболы и уравнения асимптот у = ± 2.3х;

4) точка M₁(-3 ; 5.2) гиперболы и уравнения директрис х = ± 4/3;

5) уравнения асимптот у = ±-3/4х и уравнения директрис х = ± 16/5

533. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

534. Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом в 60°.

535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса x²/25 + y²/9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε = 2.

536. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса x²/100 + y²/64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы x²/a² - y²/b² = 1 до ее асимптоты равно b.

538. Доказать что произведение расстояний от любой точки гиперболыx x²/a² - y²/b² = 1 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная a²b²/(a² + b²)

539. Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы x²/a² - y²/b² = 1 и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная ab/2.

540. Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и b, центр С(х₀;у₀) и фокусы расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) параллельной оси Оу.

541. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

1) 16x² - 9у² - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x² - 16у² + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x² - 9у² - 64x - 18у + 199 = 0.

542. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = - 1 + 2/3√(x² - 4x - 5);

2) у = 7- 3/2√(х² - 6х + 13);

3) x = 9 - 2√(y² + 4y + 8);

4) Х = 5 + 3/4√(y² + 4y - 12).

Изобразить эти линии на чертеже.

543. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F₁(-10;2), F₂(16; 2);

2) фокусы суть F₁(3;4), F₂(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;

3) угол между асимптотами равен 90° и фокусы суть F₁(4; -4), F₁(- 2;2).

544. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 5/4, фокус F (5; 0) и уравнение соответствующей директрисы 5х - 16 = 0.

545. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е - фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13y - 144 = 0.

546. Точка А (-3; - 5) лежит на гиперболе, фокус которой F (-2;-3), а соответствующая директриса дана уравнением x + 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.

547. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = √5, фокус F(2;-3) и уравнение соответствующей директрисы Зх - у + 3 = 0.

548. Точка M₁(1; 2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х - у - 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.

549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х² - у² = а². Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.

550. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху = 18; 2) 2ху - 9 = 0; 3) 2ху + 25 = 0.

551. Найти точки пересечения прямой 2x - y - 10 = 0 и гиперболы х²/20 - y²/5 = 1.

552. Найти точки пересечения прямой 4х - 3y - 16 = 0 и гиперболы х²/25 - y²/16 = 1.

553. Найти точки пересечения прямой 2x - y + 1 = 0 и гиперболы х²/9 - y²/4 = 1.

554. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:

1) x - y - 3 = 0, х²/12 - y²/3 = l;

2) x - 2y + 1 = 0, х²/16 - y²/9 = l;

555. Определить, при каких значениях m прямая y = 5/2x + m

1) пересекает гиперболу x²/9 - y²/36 = 1; 2) касается ее;

3) проходит вне этой гиперболы.

556. Вывести условие, при котором прямая у = kx + m касается гиперболы х²/a² - y²/b² = 1.

557. Составить уравнение касательной к гиперболе х²/a² - y²/b² = 1 в ее точке Af, (*,; #i).

558. Доказать, что касательные к гиперболе, про-веденные в концах одного и того же диаметра, параллельны.

559. Составить уравнения касательных к гиперболе х²/20 - y²/5 = 1, перпендикулярных к прямой 4x + Зy - 7 = 0.

560. Составить уравнения касательных к гиперболе x²/16 - y²/64 = 1, параллельных прямой 10x - 3y + 9 = 0.

561. Провести касательные к гиперболе x²/16 - y²/8 = - 1 параллельно прямой 2x + 4y - 5 = 0 и вычислить расстояние d между ними.

562. На гиперболе x²/24- y²/18 = 1 найти точку М₁, ближайшую к прямой Зx + 2y + 1 = О, и вычислить расстояние d от точки M_x до этой прямой.

563. Составить уравнение касательных к гиперболе х² - y² = 16, проведенных из точки A(- 1; -7).

564. Из точки С(1;-10) проведены касательные к гиперболе x²/8 - y²/32 = 1. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

565. Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе x²/3 - y²/5 = 1. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.

566. Гипербола проходит через точку А(√6; 3) и касается прямой 9x + 2у - 15 == 0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

567. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

568. Убедившись, что точки пересечения эллипса x²/3 - y²/5 = 1 и гиперболы x²/12 - y²/3 = 1 являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.

569. Даны гиперболы x²/a² - y²/b² = 1 и какая-нибудь ее касательная: Р - точка пересечения касательной с осью Ox, Q - проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что ОР • OQ = а².

570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.

571. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе x²/a² - y²/b² = 1 есть величина постоянная, равная b².

572. Прямая 2x - y - 4 == 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁ (-3; 0) и F₂ (3;0). Составить уравнение этой гиперболы.

573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-рой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе 15x + 16y - 36 = 0 и расстояние между ее вершинами 2а = 8.

574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит внутри угла F₁MF₂. Х^

575. Из правого фокуса гиперболы x²/5 - y²/4 = 1 под углом α(π < α < 3/2π) к оси Ох направлен луч света. Известно, что tgα = 2. Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

576. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.

577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3 . Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x²/16 - y²/9 = 1. Указание. См. задачу 509.

578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x²/25 - y²/9 = 1.

579. Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола х² - у² = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос- кости к осям Ох и Оу соответственно равны 2/3 и 5/3.

580. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола - x²/25 - y²/36 = 1 преобразуется в гиперболу x²/25 - y²/16 = 1.

581. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола x²/4 - y²/9 = 1 преобразуется в гиперболу x²/16 - y²/9 = 1.

582. Определить коэффициенты q₁ и q₂ двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола x²/49 - y²/16 = 1 преобразуется в гиперболу x²/25 - y²/64 = 1.