Окружность
Решение задачУравнение
(х - α)2 + (у - β)2 = R2 (1)
определяет окружность радиуса R с центром С(α; β).
Если центр, окружности совпадает с началом координат, т. е. если α = 0, β = 0, то уравнение (1) принимает вид
x2 + y2 = R2. (2)
385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R = 3;
2) центр окружности совпадает с точкой С(2;. -3) и ее радиус R = 7;
3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С (6; -8);
4) окружность проходит через точку А (2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
5) точки A(3; 2) и В(- 1; 6) являются концами од-ного из диаметров окружности;
6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3x - 4y + 20 = 0 является касательной к окружности;
7) центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая 5x - 12y + 9 = 0 является касательной к окружности;
8) окружность проходит через точки A(3; 1) и B(-1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх - y - 2 = 0;
9) окружность проходит через три точки A(1; 1), B(1; -1) и С(2; 0);
10) окружность проходит через три точки; M1(- 1; 5). М2(-2; -2) и М3(5; 5).
386. Точка С (3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х- 5y + 18 = 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.
387. Написать уравнения окружностей радиуса R = √5, касающихся прямой х - 2y - 1 = 0 в точке M1(3; 1).
388. Составить уравнение окружности, касающейся, двух параллельных прямых: 2х + y - 5 = 0, 2x + y + 15 = 0, причем одной из них - в точке A(2; 1).
389. Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку A(1; 0) и касаются двух параллельных прямых: 2х + y + 2 = 0, 2x + y - 18 = 0.
390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой 2x + y = 0, касается прямых 4x - 3y + 10 = 0, 4x - 3y - 30 = 0.
391. Составить уравнения окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых: 7x - y - 5 = 0, х + y + 13 = 0, причем одной из них - в точке M1(l; 2).
392. Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых: х + 2y - 9 = 0, 2x - у + 2 = 0.
393. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой 4x - 5y - 3 = 0, касаются прямых 2x 3y - 10 = 0, 3x - 2y + 5 = 0.
394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых: 3x + 4y - 35 = 0, 4x + 3y + 14 = 0.
395. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: 4х - 3y - 10 = 0, Зх - 4y - 5 = 0 и Зх - 4y - 15 = 0.
396. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: 3х + 4y - 35 = 0, Зх - 4y - 35 = 0 и х - 1 = 0.
397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:
1) (х - 5)2 + (y + 2)2 = 25;
2) (х + 2)2 + y2 = 64;
3) (х - 5)2 + (у + 2)2 = 0;
4) х2 + (у - 5)2 = 5;
5) х2 + y2 - 2х + 4y - 20 = 0;
6) x2 + y2 - 2х + 4y + 14 = 0;
7) х2 + y2 + 4х - 2y + 5 = 0;
8) х2 + y2 + х = 0;
9) х2 + y2 + 6х + 4y + 14 = 0;
10) х2 - y2 + y = 0.
398. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) y = + √(9 - х2);
2) у = - √(25 - х2);
3) x = - √(4 - y2);
4) x = + √(16 - y2);
5) y = 15 + √(64 - х2)
6) у = 15 - √(64 - х2);
7) х = - 2 - √(9 - y2);
8) x = - 2 + √(9 - y2);
9) y = -3 - √(21 - 4x - x2);.
10) x = -5 + √(40 - 6y - y2);
Изобразить эти линии на чертеже.
399. Установить, как расположена точка A( 1; -2) относительно каждой из следующих окружностей - внутри, вне или на контуре: 1) х2 + у2 = 1; 2) х2 + y2 = 5; 3) х2 + у2 = 9; 4) х2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0; 5) х2 + у2 - 10х + 8y = 0.
400. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:
1) (x - З)2 + y2 = 9 и (х + 2)2 + (у - 1)2 = 1;
2) (х + 2)2 + (у - 1)2 = 16 и (х +2)2 + (y + 5)2 = 25;
3) х2 + y2 - 4х + 6у = 0 и х2 + у2 - 6х = 0;
4) х2 + у2 - х + 2у = 0 и х2 + y2 + 5х + 2у - 1 = 0.
401. Составить уравнение диаметра окружности х2 + y2 + 4х - 6у - 17 = 0, перпендикулярного к прямой 5х + 2y - 13 = 0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих.случаев:
а) A(6; -8), х2 + y2 = 9;
6) В(3; 9), х2 + y2 - 26x + 30y + 313 = 0;
в) С(-7; 2), х2 + y2 - 10х - 14y - 151 = 0.
403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х - у + 12 = 0 и окружности (х - 2)2 + (y - 1)2 = 25.
404. Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
1) у = 2х - 3 и х2 + y2 - Зх + 2у - 3 = 0;
2) y= 1/2x - 1/2 и x2 + y2 - 8x + 2y +12 = 0;
3) у = х + 10 и х2 + y2 - 1 = 0.
405. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у = kx
1) пересекает окружность х2 + у2 - 10x + 16 = 0;
2) касается этой окружности;
3) проходит вне этой окружности.
406. Вывести условие, при котором прямая у = kx + b касается окружности х2 + y2 = R2
407. Составить уравнение диаметра окружности (х - 2)2 + (y + 1)2 = 16, проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой x - 2у - 3 = 0.
408. Составить уравнение хорды окружности (х - 3)2 + (y - 7)2 = 169, делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
409. Определить длину хорды окружности (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10, делящейся в точке A(1; 2) пополам.
410. Дано уравнение пучка прямых α(х - 8у + 30) + β(х + 5y - 22) = 0. Найти прямые этого пучка, на которых окружность х2 + y2 - 2х + 2у - 14- = 0 отсекает хорды длиною 2√З.
411. Даны две окружности (х - m1)2 + (у - n1)2 = R2 1, (х - m2)2 + (у - n2)2 = R22, пересекающиеся в точках M1(x1; y1) и М2(х2; у2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1 М2, а также прямая M1M2, могут быть определены уравнением вида α[(x - m1)2 + ( у -n1)2 - R21] + β[(х - m2)2 + (у - n2)2 - R22 ] = 0 при надлежащем выборе чисел α и β.
412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A(1; -1) и точки пересечения двух окружностей: х2 + y2 + 2х - 2у - 23 = 0, х2 + у2 - 6х + 12у - 35 = 0.
413. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения двух окружностей: (х+ 3)2 + (у + 1)2 = 25, (х - 2)2 + (y + 4)2 = 9.
414. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей: х2 + у2 + Зх - у = 0, Зх2 + Зy2 + 2х + y = 0.
415. Вычислить расстояние от центра окружности х2 + у2 = 2х до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей: х2 + у2 + 5x - 8y + 1 = 0, х2 + у2 - Зх + 7у - 25 = 0.
416. Определить длину общей хорды двух окружностей: х2 + у2 - 10х - 10у = 0, х2 + y2 + 6х + 2у - 40 = 0.
417. Центр окружности лежит на прямой х + y = 0. Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностей: (х - 1)2 + (y + 5)2 = 50, (х + 1)2 + (у + 1)2 = 10.
418. Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5 в точке А (- 1; 2).
419. Составить уравнение касательной к окружности (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 в точке А (-5; 7).
420. На окружности 16х2 + 16y2 + 48х - 8y - 43 = 0 найти точку М1, ближайшую к прямой 8x - 4y + 73 = 0, и вычислить расстояние d от точки M1 до этой прямой.
421. Точка M1(x1; y1) лежит на окружности х1 + у1 = R1. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1
422. Точка М1(x1; y1) лежит на окружности (х - α)2 + (у - β)2 = R2 . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1
423. Определить острый угол, образованный при пересечении прямой Зх - у - 1 = 0 и окружности (х - 2)2 + y2 = 5 (углом между прямой и окружностью называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной в точке их пересечения).
424. Определить, под каким углом пересекаются две окружности: (х - 3)2 + (y - 1)2 = 8, (х - 2)2 + (y + 2)2 = 2 (углом между двумя окружностями называется угол между их касательными в точке переселения).
425. Вывести условие, при котором две окружности (х - α1)2 + (у - β1)2 = R21 , (х - α2)2 + (у - β2)2 = R22 пересекаются под прямым углом.
426. Доказать, что две окружности
x2 + y2 - 2mx - 2nу - m2 + n2 = 0,
x2 + y2 - 2nx + 2mу - m2 + n2 = 0
пересекаются под прямым углом.
427. Из точки A(5/3; -5/3) проведены касательные к окружности х 2 - у2 = 5. Составить их уравнения.
428. Из точки A(1; 6) проведены касательные к окружности x2 + y2 + 2х - 19 = 0, Составить их уравнения.
429. Дано уравнение пучка прямых α(3x + 4y - 10) + β(3x - у - 5) = 0. Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности х2 + у2 + 2х - 4у = 0.
430. Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности x2 + y2 = 10. Определить угол, образованный этими касательными.
431. Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности (х - 1 )2 + (y + 5)2 = 4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
432. Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности х2 + у2 = 25. Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.
433. Из точки Р(- 9; 3) проведены касательные к окружности х2 + у2 - 6х + 4у - 78 = 0. Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.
434. Из точки М(4;-4) проведены касательные к окружности х2 + у2 - 6х + 2у + 5 = 0. Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.
435. Вычислить длину касательной, проведенной из точки А( 1; -2) к окружности х2 + у2 + х - 3у - 3 = 0.
436. Составить уравнения касательных к окружности х2 + у2 + 10х - 2у + 6 = 0, параллельных прямой 2х + у - 7 = 0.
437. Составить уравнения касательных к окружности х2 + у2 - 2x + 4у = 0, перпендикулярных к прямой х - 2у + 9 = 0.
438. Составить уравнение окружности в полярных ко-ординатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R; Θ0).
439. Составить уравнение окружности в полярных ко-ординатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности: 1) С (R; 0); 2) C(R; π); 3) С(R; π/2) 4) С(R; -π/2)
440. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей: 1) p = 4cosΘ; 2) р = 3 sinΘ; 3) р = -2 cosΘ; 4) р = -5 sinΘ; 5) p = 6cos(π/3; - Θ) 6) p = 8sin(Θ - π/3; ); 7) р = 8 sin(π/3; - Θ).
441. Окружности заданы уравнениями в полярных координатах: 1) p = 3cosΘ; 2)p = -4 sinΘ; 3) р = cosΘ - sinΘ. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс - с началом координат.
442. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах: 1) х2 + у2 = х; 2) х2 - y2 = - 3x; 3) x2 + y2 = 5у; 4) x2 + у2 = -у; 5) x2 + y2 = х + у. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс - с началом координат.
443. Составить полярное уравнение касательной к окружности р = R в точке M1 (R;Θ0).