Полярное уравнение прямой

Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точке Р. Угол, на который нуж* но повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок OP, будем называть полярным углом нормали.

380. Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса р и полярный угол нормали α.

Решение. 1-й способ. На данной прямой s (рис. 11) возьмем произвольную точку М с полярными координатами р и Θ. Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим:

p = p/ cos( Θ - α) (1)

Мы получили уравнение с двумя переменными р и б, которому удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой s. Таким образом, задача решена.

2-й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s:

x cosα + у sinα - р - 0. (2)

Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

x = p cosΘ

y = p sinΘ

Подставляя в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим:

р (cosΘ cosα + sinΘ sinα) = р

или

p = p/ cos( Θ - α)

381. Вывести полярное уравнение- прямой, если даны:

1) угол β наклона прямой к полярной оси и длина перпендикуляра p, опущенного из полюса на эту прямую. Написать уравнение этой прямой в случае β = π/6, р = 3;

2) отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол α нормали этой прямой. Написать уравнение этой прямой в случае а = 2, α = - 2/3π;

3) угол β наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в случае β = π/6 , а = 6.

382. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁(p₁; Θ₁) и наклоненной к полярной оси под углом β.

383. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁(p₁; Θ₁), полярный угол нормали которой равен α.

384. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M₁(p₁;Θ₁) и M₂(p₂; Θ₂).