Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали е данной прямой й установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если α есть полярный угол нормали, р - длина отрезка OP (рис. 10), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

х • cosα + y • sinα - р = 0;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка М*; обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Отклонением δ точки М* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены

по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, δ = 0.) Если даны координаты х*, у* точки M* и нормальное уравнение прямой х cosα + y sinα - р == 0, то отклонецие δ точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле

δ = х* cosα + y* sinα - р.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M*. Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль:

d = |δ|

Если дано общее уравнение прямой Ах + By + С = 0, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить, на нор-мирующий множитель ц, определяемый формулой

μ = ± 1/√(A² + B²)

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

309. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

1) 3/5x - 4/5y - 3 = 0;

2) 2/5x - 3/5y - 1 = 0;

3) 4/13x - 12/13y + 2 = 0;

4) -5/13 + 12/13y - 2 = 0;

5) -x + 2 = 0;

6) x - 2 = 0;

7) y + 2 = 0;

8) - y - 2 = 0;

310. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

1) 4x - 3y - 10 = 0;

2) 4/5x - 3/5y + 10 = 0;

3) 12x - 5y + 13 = 0;

4) x + 2 = 0;

5) 2x - y - √5 = 0;

311. Даны уравнения прямых:

1) х - 2 = 0;

2) x + 2 = 0;

3) у - 3 = 0;

4) у + 3 = 0;

5) x√3 + у - 6 = 0;

6) x - у + 2 = 0;

7) х + у√З + 2 = 0;

8) x cosβ - y sinβ - q = 0, g > 0; β -острый угол;

9) x cosβ + y sinβ + q = 0, q > 0; β - острый угол.

Определить полярный угол нормали α и отрезок р для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров α и р построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая β = 30° и q = 2).

312. Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев: 1) A(2; - 1), 4х + 3y + 10 = 0; 2) B(0; -3), 5x- 12y - 23 = 0; 3) Р(-2; 3), Зх - 4у - 2 = 0; 4) Q (1; -2), х - 2у - 5 = 0.

313. Установить, лежат ли точка M(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых: 1) 2х- y + 5 = 0; 2) х - 3у - 5 = = 0; 3) Зх + 2y - 1 = 0; 4) х - Зy + 2 = 0; 5) 10x + 24у + 15 = 0.

314. Точка A(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х - 2у - 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.

315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника Зх - 2у - 5 = 0, 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

316. Доказать, что прямая 2х + у + 3 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками A(-5; 1) и B(3;7).

317. Доказать, что прямая 2х - 3у + 6 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками М₁(-2; -3) и М₂( 1; -2).

318. Последовательные вершины четырехугольника суть точки А(-3; 5), В(-1; -4), С(7; -1) и D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.

319. Последовательные вершины четырехугольника суть точки А(- 1; 6), В(1; -3), С(4; 10) и D(9; 0). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.

320. Даны вершины треугольника: A(-10; -13), В(-2; 3) и С (2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

321. Стороны АВ, ВС и СА треугольника ABC соответственно даны уравнениями x - 21у - 22 - 0, 5x - 12y + 7 = 0, 4x - 33y + 146 = 0. Вычислить расстояние от центра тяжести этого треугольника до стороны ВС.

322. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

1) 3x - 4y - 10 = 0, 6x -8у + 5 = 0;

2) 5x - 12y + 26 = 0, 5x - 12у - 13 = 0;

3) 4x - 3y + 15 = 0, 8x - 6у + 25 = 0;

4) 24x - 10y + 39 = 0, 12x - 5у - 26 = 0.

323. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x - 12у - 65 = 0, 5x - 12у + 26 = 0. Вычислить его пло-щадь.

324. Доказать, что прямая 5x - 2y - 1 = 0 параллельна прямым 5x - 2y + 7 = 0, 5x - 2у - 9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.

325. Даны три параллельные прямые: 10x + 15y - 3 = 0, 2x + 3y + 5 = 0, 2x + 3y - 9 = 0. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

326. Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(l; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых,

327. Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q (5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых,

328. Доказать, что через точку C(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.

329. Доказать, что через точку B(4; -5) невозможно провести прямую так, чтобы расстояние ее от точки С(-2; 3) было равно 12.

330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой 8x - 15y - 25 = 0 равно -2.

331. Составить уравнение прямых, параллельных прямой Зx - 4у - 10 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 3.

332. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.

333. Точка A(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4x - 3у - 7 = 0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

334. Даны уравнения двух сторон квадрата 4x - 3y + 3 = 0, 4x - 3у - 17 = 0 и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

335. Даны уравнения двух сторон квадрата 5х + 12у - 10 = 0, 5х + 12у + 29 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M₁(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

336. Отклонения точки М от прямых 5x - 12у - 13 = 0 и Зx - 4у -19 = 0 равны соответственно -3 и - 5. Определить координаты точки М.

337. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А (5; -1) и В(3; 7).

338. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных прямых:

1) Зх - у + 7 = 0, Зх - у - 3 = 0;

2) х - 2у + 3 = 0, x - 2y + 7 = 0;

3) 5x - 2у - 6 = 0, 10x - 4у + 3 = 0.

339. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

1) x - Зy + 5 = 0, 3x - у - 2 = 0;

2) х - 2у - 3 = 0, 2х + 4у + 7 = 0;

3) 3x + 4у - 1 = 0, 5x + 12y - 2 = 0.

340. Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми 2x - у + 5 = 0, Зx + 6у - 1 = 0 образуют равнобедренные треугольники.

341. Определить, лежат ли точка M(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

1) 2х- у - 5 = 0, Зх + y + 10 = 0;

2) 4х + 3y -10 = 0, 12x - 5y - 5 = 0;

3) х - 2у - 1 = 0, Зх - у - 2 = 0.

342. Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5;-1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

1) х - Зу - 5 = 0, 2x + 9y - 2 = 0;

2) 2x + 7у - 5 = 0, х + 3y + 7 = 0;

3) 12x + у - 1 = 0, 13x + 2y - 5 = 0.

343. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями 7х - 5y - 11 = 0, 8х + 3y + 31 = 0, х + 8y - 19 = 0.

344. Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями х + y - 4 = 0, Зх - 7y + 8 = 0, 4х - y - 31 = 0.

345. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх - 2y + 5 = 0 и 2х + y - 3 = 0, содержит начало координат.

346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх - 5у - 4 = 0 и x + 2у + 3 = 0, содержит точку М (2; -5).

347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми Зх - у - 4 = 0 и 2х + 6y + 3 = 0, в котором лежит начало координат.

348. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х - 7у + 5 = 0, 5х + 5y - 3 = 0, смежного с углом, содержащим начало координат

349. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х + 2y - 11 = 0 и Зх - 6y - 5 = 0, в котором лежит точка M(l; -3).

350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 2х - Зу - 5 = 0, 6х - 4y + 7 = 0, смежного с углом, содержащим точку С (2; -1).

351. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми Зх + 4у - 5 = 05х - l2y + 3 = 0.

352. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми х - 3y + 5 = 0, Зх - y + 15 = 0.