Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Решение задачЕсли в общем уравнении прямой
Ах + By + С = 0 (1)
9дин или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1) С = 0; уравнение имеет вид Ах + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2) В = 0 (A ≠ 0); уравнение имеет вид Ах + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох, считая от начала координат.
3) B = 0, С = 0 (А ≠ 0) уравнение может быть записано в виде х = 0 и определяет ось ординат.
4) А = 0 (B ≠ 0); уравнение имеет вид By + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде у = b, где b = -C/B является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
5) А = 0, С = 0 (B ≠ 0); уравнение может быть записано в виде у = 0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
x/a + y/b = 1 (2)
где а = -C/A и b = - C/B суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если две прямые даны уравнениями
A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0
то могут представиться три случая:
а) A1/A2 ≠ B1/B2 - прямые имеют одну общую точку;
б) A1/A2 = B1/B2 ≠ C1/C2 - прямые параллельны;
в) A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 прямые сливаются, т. е. оба уравнения определяют одну и ту же прямую.
285. Определить, при каком значении а прямая
(а + 2) х + (а2 - 9) у + За2 - 8а + 5 = 0
1) параллельна оси абсцисс;
2) параллельна оси ординат;
3) проходит через начало координат.
В каждом случае написать уравнение прямой.
286. Определить, при каких значениях m и n прямая
(m + 2n - 3)х + (2m - n +1)y + 6m + 9 = 0
параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный -3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
287. Определить, при каких значениях m и n прямая (2m - n + 5)x + (m + 3n - 2)у + 2m + 7n + 19 = 0 параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный +5 (считая от начала координат) Написать уравнение этой прямой.
288. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения!
1) x + 5y - 35 = 0, Зx + 2y - 27 = 0;
2) 14x - 9y - 24 == 0, 7x - 2у- 17 = 0;
3) 12x + 15y - 8 = 0, 16x + 9y - 7 = 0;
4) 8x - 33у -19 = 0, 12x + 55y - 19 = 0;
5) 3x + 5 = 0, у - 2 = 0.
289. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
1) 3x + 5y - 4 = 0, 6x + 10y + 7 = 0;
2) 2x - 4y +3 = 0, x - 2y = 0;
3) 2x - 1 = 0, x + 3 = 0;
4) y + 3 = 0, 5y -7 = 0.
290. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:
1) 3x + 5y - 4 = 0, 6x + 10y - 8 = 0;
2) x - y√2 = 0, x√2 - 2y = 0;
3) x√3 - 1 = 0, 3x - √3 = 0.
291. Определить, при каких значениях а и b две прямые
ах - 2у - 1 = 0, 6x - 4у - b = 0
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают
292. Определить,- при каких значениях m и n две прямые
mх + 8y + n = 0, 2x + mу - 1 = 0
1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны
293. Определить, при каком значении m две прямые (m - 1)x + my - 5 = 0, mх + (2m - 1)у + 7 = 0 пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс.
294. Определить, при каком значении т две прямые
mх + (2m + 8)y + m + 6 = 0,
(2m +l)x + (m - l)y + m - 2 = 0
пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
295. Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
1) 2х + Зу - 1 = 0, 4х - 5у + 5 = 0, 3х - у + 2 = 0;
2) Зх - у + 3 = 0, 5x + 3y -7 - 0, х - 2у - 4 = 0;
3) 2х - y + 1 = 0, х + 2y -17 = 0, х + 2у - 3 = 0.
296. Доказать, что если три прямые А1х + В1у + C1 = 0, А2х + В2у + C2= 0, А3х + В3у + C3= 0 пересекаются в одной точке, то
297. Доказать, что если
то три прямые А1х + В1у + C1 = 0, А2х + В2у + C2= 0, А3х + В3у + C3= 0 пересекаются в одной точке или параллельны,
298. Определить, при каком значении а три прямые 2х - y + 3 = 0, x + y + 3 = 0, ах + у - 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.
299. Даны прямые: 1) 2х + 3y - 6 = 0; 2) 4х - 3y + 24 = 0; 3) 2x + 3y - 9 = 0; 4) Зх -5y - 2 = 0; 5) 5x + 2y - 1 = 0. Составить для них уравнения «в от-резках» и построить эти прямые на чертеже.
300. Вычислить рлощадь треугольника, отсекаемого прямой Зх - 4у - 12 = 0 от координатного угла.
301. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М1(3; -7) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).;
302. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
303. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2 кв. ед.
304. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50 кв. ед.
305. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
306. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв. ед.
307. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
308. Через точку М1(x1; у1), где x1y1 > 0, проведена прямая
x/a + y/b = 1,
отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами х1, у1 и S отрезки а и b будут иметь одинаковые знаки.