Вывод уравнений заранее данных линий

В задачах предыдущего параграфа линия определялась при помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противоположного характера: в каждой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

Пример 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек A₁(-а; 0) и А₂(а; 0) есть величина постоянная, равная 4а².

Решение. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами хну обозначим координаты этой точки. Так как точка М может занимать на линии любое положение, то х и у являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Запишем геометрическое свойство линии символически:

(МА₁)² + (МА₂)² = 4а². (1)

В этом соотношении при движении точки М могут меняться длины MA₁ и МА₂. Выразим их через текущие координаты точки М:

MA₁ = √((x + a)² + y²), MA₂ = √((x + a)² + y²)

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты х, у точки М:

(х + а)² + у² + {х - а)² + у² = 4а². (2)

Это и есть уравнение данной линии.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на этой линии, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки M, не лежащей на линии, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Однако уравнение (2) можно упростить; раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение данной линии в виде

х² + у² = а².

Теперь легко понять, что данная линия есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а.

Пример 2. В полярной системе координат вывести уравнение окруж-ности, которая имеет центр С(р₀, Θ₀) и радиус r (рис. 7).

Решение. Обозначим буквой М произвольную точку окружности, буквами р и Θ - ее полярные координаты. Так как точка М может занимать на окружности любое положение, то р и Θ являются переменными величинами. Как и в случае декартовой системы, их называют текущими координатами.

Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии r; запишем это условие символически:

СМ = r. (1)

Выразим СМ через текущие координаты точки M (воспользуемся теоремой косинусов; рис. 7):

Подставив полученное выражение в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты р, Θ точки M:

Это и есть уравнение данной окружности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить полученное уравнение и представить его в виде, свободном от радикала;

р₂ - 2р₀р cos (Θ - Θ₀) = r² - p²₀.

174. Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.

175. Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.

176. Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.

177. Из точки Р (6; -8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравнение геометрического места их середин.

178. Из точки С(10; -3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравнение геометрического места их середин.

179. Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек: 1) А (3; 2) и В(2; 3); 2) A(5; -1) и B(1; -5); 3) А(5; -2) и В(-3; -2); 4) A(3; -1) и B(3; 5)

180. Составить уравнение геометрического места то-чек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и B(а; 0) равна с.

181. Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат и радиус r.

182. Вывести уравнение окружности, имеющей центр С (α; β) и радиус r.

183. Дано уравнение окружности х² + у² = 25. Со-ставить уравнение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.

184. Составить уравнение геометрического места то-чек, сумма квадратов расстояний которых до точек A(-3; 0) и B(3; 0) равна 50.

185. Вершины квадрата суть точки А(а; а), В(-а; а), С (-а; -а) и D(a; -а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равная 6а².

186. Через начало координат проведены всевозможные хорды окружности (х - 8)² + y² = 64. Составить уравнение геометрического места середин этих хорд.

187. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁(-3; 0) и F₂(3; 0) есть величина постоянная, равная 10.

188. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F₁(-5; 0) и F₂(5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

189. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой х + 3 = 0.

190. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁(-c; 0) и F₂ (c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точки F₁ и F₂ - фокусами эллипса.

Доказать, что уравнение эллипса имеет вид x²/a² + y²/b² = 1, где b² = a² - с².

191. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F₁ (-c; 0) и F₂(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки F₁ и F₂ - фокусами гиперболы.

Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид x²/a² - y²/b² = 1, где b² = a² - с² - a².

192. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(p/2;0) равно расстоянию до данной прямой х = -p/2 Это геометрическое место называется параболой, точка F - фокусом параболы, данная прямая - ее директрисой.

193. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-4; 0) к расстоянию до данной прямой 4x + 25 = 0 равно 4/5

194. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-5; 0) к расстоянию до данной прямой 5х + 16 = 0 равно 5/4.

195. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (x + З)² + y² = 1, (х - З)² + y² = 81 равны между собой.

196. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (x + 10)² + y² = 289, (х-10)² + y² = 1 равны между собой.

197. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окружности (х - 5)² + у² = 9 и до данной прямой x + 2 = 0 равны между собой.

198. Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

199. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом π/3. Составить уравнение этого луча в полярных координатах.

200. Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной оси под углом 45°. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

201. В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от полярной оси равны 5.

202. Окружность радиуса R = 5 проходит через по-люс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.

203. Окружность радиуса R = 3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.