Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая - концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АB. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка АB обозначается символом АВ, его длина - символом |АВ|. Если точки А и В совпадают, то, определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВА = 0 (направление пулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, 'назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) ) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:

x = OM.

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(x) означает, что точка М имеет координату х.

Если M₁(x₁) и М₂(х₂)-две произвольные точки прямой а, то формула

M₁M₂ = x₂ - x₁

выражает величину отрезка >M₁M₂, формула

|M₁M₂| = |x₂ - x₁|

выражает его длину.

*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным назначается направление слева направо.

1. Построить точки Ф(3), В(5), С(-1), D(2/3),E(-3/7), F(√ 2), H(√5).

2. Построить точки, координаты которых удовлетво- ряютуравнениям: 1) |x| = 2; 2) |x - 1|==3;3) [1-x| - = 2; 4) |2 + х| = 2.

3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам! 1) х > 2; 2) x -3 ≤ 0; 3) 12 - х < 0; 4) 2х - 3 ≤0; 5) 3x - 5 > 0; 6) 1 < x < 3; 7) -2 ≤ x ≤ 3;8) (2-x)/(x-1) > 0 9)(2x-1)/(x-2)>1; 10) (2-x)/(x-1)<0; 11) (2-x)/(x-2)<1; l2) x² - 8x + 15 ≤ 0; 13) х² - 8x + l5 > 0; 14) х² + x - 12 >0; 15) х² - х - 12 ≤ 0.

4. Определить величину АВ и длину |АВ| отрезка, заданного точками: 1) A(3) и B(11); 2) A(5) и B(2); 3) A(-1) и B(3); 4) А (-5) и B(-3); 5) A(-1) и B(-3); 6) А(-7) и B(-5).

5. Вычислить координату точки А, если известны: 1) B(3) и АВ = 5; 2) B(2) и АВ = -3; 3) B(-1) и ВА 2; 4) B (-5) и ВА = -3; 5) B (0) и |AB| = 2; 6) B(2) и |AB| = 3; 7) B(-1) и |АВ| =5; 8) B(-5) и |AB| =5 2.

6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:

1) |x|<1; 2) |х|>2) 3) |х|≤2; 4) |x|≥3; 5) |x-2|<3; 6) |x -5 |≤ 1; 7) |x- 1 |≥2; 8)|x -3 |≥1; 9) |x + 1 |<3; 10) |x + 2| > 1; 11) |x + 5|≤1; 12) |x + 1 |≥2.

7. Определить отношение λ = AC/CB в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных: 1) A(2), В(6) и С(4); 2) A(2), В(4) и С(7); 3) A(-1), В(5) н С(3); 4) A(1), В(13) и С(5); 5) A(5), В(-2) и С(-5).

8. Даны три точки A(-7), B(- 1) и С(1), Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

9. Определить отношение λ = M₁M/MM₂ , в котором данная точка М(х) делит отрезок M₁M₂, ограниченный данными точками M₁(x₁) и М₂(х₂).

10. Определить координату х точки М, делящей отрезок M₁M₂, ограниченный данными точками M₁(x₁) и M₂(x₂) в данном отношении λ(λ = M₁M/MM₂)

11. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками M₁(x₁) и M₂(x₂).

12. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев: 1) A(3) и B(5); 2) С(-1) и D(5); 3) M₁(-l) и М₂(-З); 4) P₁(-5) и Р₂( 1); 5) Q₁(3) и Q₂(-4).

13. Определить координату точки М, если известны:

1) M₁(3), M₁(7) и λ = M₁M/MM₂ = 2;

2) M₁(2), M₁(-5) и λ = AM/MB = 3;

3) M₁(-1), M₁(3) и λ = CM/MD = 1/2;

4) M₁(-1), M₁(3) и λ = AM/MB = -2;

5) M₁(1), M₁(-3) и λ = BM/MA = -3;

6) M₁(-2), M₁(-1) и λ = BM/MB = -1/2;

14. Даны две точки A(5) и В(-3). Определить:

1) координату точки М, симметричной точке Л относительно точки В;

2) координату точки N, симметричной точке В относительно точки A.

15. Отрезок, ограниченный точками A(-2) и В (19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

16. Определить координаты концов A и В отрезка, который точками P(-25) и Q(-9) разделен на три равные части.