Собственные векторы линейного оператора

Определение 5.3. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L → L, если для некоторого действительного числа А выполняется соотношение Ах = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А.

Пример 5.3. В линейном пространстве К_n[х] многочленов степени не выше n содержатся многочлены нулевой степени, т.е. постоянные функции. Так как dc/dx = 0 = 0 • с, многочлены нулевой степени р(х) = с ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число λ = 0 - собственным значением этого оператора. #

Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора. Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор х одновременно удовлетворяет двум равенствам Ах = λx и Ах = μх, то λx = μх, откуда (λ - μ)х = 0. Если λ - μ ≠ 0, умножим равенство на число (λ - μ)^-1 и в результате получим, что x = 0. Но это противоречат определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой.

Каждому собственному значению отвечают свои собствен-ные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если x - собственный вектор линейного оператора А с собственным значением λ, т.е. Ах = λx, то для любого ненулевого действительного числа α имеем αx ≠ 0 и А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Значит, и вектор αx является для линейного оператора собственным.

Замечание 5.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собственных векторах квадратной матрицы. При этом имеют в виду следующее. Матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора в фиксированном базисе, действующего в n-мерном линейном пространстве. Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном арифметическом пространстве Rⁿ, то матрица А определяет линейный оператор А, отображающий вектор х ∈ Rⁿ со столбцом координат х в вектор со столбцом координат Ах. Матрицей А как раз и является матрица А. Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляется со столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этом не всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы "операторные" термины.

Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением.

Теорема 5.3. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора.

◄ Необходимость. Пусть число λ является собственным значением линейного оператора А: L → L. Это значит, что существует вектор x ≠ 0, для которого

Ах = λx. (5.2)

Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x. Используя этот оператор, преобразуем равенство (5.2): Ах = λIx, или

(А - λI)х = 0. (5.3)

Запишем векторное равенство (5.3) в каком-либо базисе b. Матрицей линейного оператора А - λI будет матрица А - λE, где А - матрица линейного оператора А в базисе b, а Е - еди-ничная матрица, и пусть х - столбец координат собственного вектора x. Тогда х ≠ 0, а векторное равенство (5.3) равносильно матричному

(А - λE)x = 0, (5.4)

которое представляет собой матричную форму записи одно-родной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей А - λЕ порядка n. Эта система имеет ненулевое решение, являющееся столбцом координат х собственного вектора x. Поэтому матрица А - λЕ системы (5.4) имеет нулевой определитель [III], т.е. det(A - λЕ) = 0. А это означает, что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора А.

Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det (A - λЕ) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ (5.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение х. Это ненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (5.3) или ему эквивалентное равенство (5.2) . Мы приходим к выводу, что число λ является собствен-ным значением линейного оператора А. ►

Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его кратность, полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора).

Множество всех собственных векторов, отвечающих данно-му собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством, так как это множество не содержит нулевого вектора, который, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и легко устранимое препятствие является единственным. Обозначим через £(А, λ) множество всех собственных векторов линейного оператора А в линейном пространстве L, отвечающих собственному значению λ, с добавленным к этому множеству нулевым вектором.

Теорема 5.4. Множество £(А,λ) является линейным подпространством в L.

◄ Выберем произвольные два вектора x,у ∈ £(А, λ) и докажем, что для любых действительных α и β вектор αх + βу также принадлежит £(А, λ). Для этого вычислим образ этого вектора под действием линейного оператора А:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Таким образом, для вектора z = αх + βу выполняется соотношение Az = λz. Если z - нулевой вектор, то он принадлежит £(А,λ). Если же он ненулевой, то, согласно доказанному соотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежит множеству £(А, λ). ►

Линейное подпространство £(А,λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора* . Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора А - такого линейного подпространства что для любого вектора х ∈ H вектор Ах также принадлежит H.

Инвариантным подпространством линейного оператора яв-ляется также линейная оболочка любой системы его собствен-ных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора.

Линейный оператор А: L → L можно рассматривать как линейное отображение любого своего инвариантного пространства H в себя. Такое отображение, по сути, есть результат сужения отображения А на линейное подпространство Н, и его называют ограничением линейного оператора на инвариантное подпространство H.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ