Произведение линейных операторов

Пусть в линейном пространстве L действуют два линейных оператора А и В. Рассмотрим отображение ВА: L → L, кото-рое является композицией двух отображений и задается форулой (ВА)х = В(Ах). Это отображение является линейным, так как для любых векторов х и у и любых действительных λ и μ

(ВА)(λх + μу) = В(А(λх + μу)) = В(λАх + μАу) = λВ(Ах) + λВ(Ау) = λ(ВА)х + μ(BA)y.

Введенный нами линейный оператор ВА называют произведением линейных операторов В и А.

Теорема 4.8. Пусть в линейном пространстве С действуют линейные операторы А и В, а А и В - матрицы этих линейных операторов в некотором базисе b. Тогда матрицей линейного оператора ВА в том же базисе b является матрица ВА.

◄ Действие линейного оператора на вектор в данном базисе представляется как умножение матрицы этого оператора на столбец координат вектора. Поэтому для произведения двух операторов А и В получаем

(ВА)х = В(Ах) = В(bАх) = b(В(Ах)) = b(ВА)х. ►

Если линейный оператор А: L → L представляет собой биективное отображение, то существует обратное отображение A^-1: L ∈ L.

Теорема 4.9. Если линейный оператор А имеет обратное отображение А^-1, то это отображение линейно, причем если матрицей А в данном базисе b является A, то матрицей линейного оператора А^-1 в том же базисе является А^-1.

◄ Любым векторам у₁ и у₂ линейного пространства L соответствуют такие однозначно определенные векторы x₁ и x₂, что y_i = Ах_i, i = 1,2. При этом для любых действительных λ и μ вектору λy₁ + μу₂ соответствует вектор λx₁ + μx₂, так как

А(λx₁ + μх₂) = λАх₁ + μАх₂ = λу₁ + μу₂.

Поэтому

А^-1(λу₁ + μу₂) = λx₁ + μх₂ = λA^-1y₁ + μA^-1y₂.

Следовательно, отображение А^-1 линейно.

Отметим, что произведение операторов А^-1 и А, как композиция прямого и обратного отображений, является тождественным оператором. Согласно теореме 4.8, произведение матриц А' и А этих операторов равно единичной матрице Е: А'А = Е. Это значит, что матрица А' оператора А^-1 является обратной к матрице А оператора А: А' = А^-1. ►

Замечание 4.3. Для любых двух линейных операторов А и B, действующих в линейном пространстве L, выполняется соотношение

Rg(AB) ≤ min{Rg A, RgВ}.

Действительно, рассмотрим оператор А как линейный оператор A: imB → L. Размерность образа оператора, т.е. его ранг, не превосходит размерности линейного пространства, из которого он действует, так как сумма дефекта и ранга совпадает с размерностью этого пространства (см. 4.1). В нашем случае имеем

Rg(AB) = dimim(AB) ≤ dimimB = RgB.

Так как образ линейного оператора АВ является линейным подпространством образа линейного оператора А, то

Rg(AB) ≤ RgA.

Доказанное соотношение можно перенести на квадратные матрицы с помощью теорем 4.5 и 4.4. В результате получаем, что ранг произведения матриц АВ не превосходит min{Rg A, RgB}. Особо отметим случай, когда одна из матриц, например В, является невырожденной. Тогда Rg(AB) ≤ Rg А и одновременно RgA = Rg((AB)B^-1) ≤ Rg(AB). Следовательно, при умножении матрицы А справа на невырожденную матрицу ее ранг не изменяется. При умножении матрицы А слева на невырожденную матрицу ранг также не изменяется, что доказывается аналогично.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ