Изоморфизм линейных пространств

Определение 4.3. Два линейных пространства L и L' называют изоморфными, если существует линейное биективное отображение А: L → L'. При этом само отображение А называют изоморфизмом линейных пространств L и L'.

Как следует из данного определения, изоморфизм представляет собой линейный оператор нулевого дефекта и максимального ранга. Примером изоморфизма линейного пространства в себя является тождественный оператор.

Теорема 4.2. Два конечномерных линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

◄ Пусть линейные пространства L и L' имеют одинаковую размерность n. Мы докажем изоморфность этих линейных пространств, построив отображение А: L → L', являющееся изоморфизмом. Для этого выберем произвольные базисы b = (b₁ ... b_n) в линейном пространстве L и е = (e₁ ... е_n) в линейном пространстве L'. Любой вектор х ∈ L может быть разложен в базисе b, т.е. представлен в виде х = bх, где х - столбец координат этого вектора в базисе b. Вектору х ∈ L поставим в соответствие вектор ех ∈ L', который в базисе е линейного пространства L' имеет те же координаты, что и вектор х в базисе b. Заданное таким образом отображение A: L → L' является линейным оператором. Действительно, если взять произвольные векторы х,у ∈ L со столбцами координат x, у, то

А(х + у) = е(x + у) = ех + еу = Ах + Ау,

так как при сложении векторов их координаты складываются. Точно так же при умножени вектора х со столбцом координат х на произвольное число λ получаем

A(λx) = е(λx) = λ(еx) = λ(Ax),

где опять-таки использованы правила умножения вектора на число в координатах.

Линейный оператор А является инъективным, так как равенство Ах = Ау означает, что ех = еу или х = у в силу единственности разложения вектора по базису. Поэтому х = у.

Линейный оператор А является сюрьективным, так как любой вектор у ∈ L' с координатами у в базисе е является образом вектора х = bу с теми же координатами у, что и у, но относительно "своего" базиса b. Линейное, инъективное и сюрьективное отображение, по определению 4.3, и есть изоморфизм. Следовательно, линейные пространства L и L' изоморфны, при этом изоморфизмом является построенный нами линейный оператор А.

Предположим теперь, что линейные пространства L и L' изоморфны и пусть отображение А: L → L' является соответствующим изоморфизмом. В n-мерном линейном пространстве L выберем некоторый базис b = (b₁ ... b_n) и докажем, что система векторов е = (Ab₁ ... Аb_n), состоящая из образов базисных векторов, является базисом в L'.

Во-первых, система векторов е линейно независима. Возьмем произвольную линейную комбинацию этой системы векторов с некоторыми коэффициентами х₁, ..., х_n и приравняем нулевому вектору 0' в L':

x₁Ab₁ + ... + х_nАb_n = 0'.

Левая часть равенства является образом некоторого вектора х:

х₁Ае₁ + ... + х_nАе_n = А (х₁b₁ + ... + х_nb_n) = Аx,

x = x₁b₁ + ... + х_nb_n, координатами которого в выбранном базисе b являются коэффициенты линейной комбинации. Так как отображение А инъективно, а нулевой вектор из L' является образом нулевого вектора из L, заключаем, что x = 0, поскольку Аx = 0'. Итак,

x₁b₁ + ... + х_nb_n = 0,

а это возможно, лишь если все коэффициенты линейной комби-нации равны нулю.

Во-вторых, любой вектор у ∈ L' можно представить в виде линейной комбинации системы векторов е. В самом деле, так как отображение А сюрьективно, вектор у является образом некоторого вектора x, имеющего в базисе b столбец координат х. Тогда

у = Ах = A(x₁b₁ + ... + x_nb_n) = x₁(Ab₁) +... + х_n(Аb_n),

и мы получаем разложение у по системе векторов е, коэффици-ентами в котором являются координаты вектора х в базисе b.

Система векторов е линейно независима, и в ней можно разложить любой вектор линейного пространства L'. Значит, эта система является базисом в L'. При этом количество векторов в е совпадает с количеством векторов в базисе b линейного пространства L, следовательно, размерности пространств L и L' совпадают. ►

Следствие 4.1. Все n-мерные линейные пространства изоморфны линейному арифметическому пространству Rⁿ.

Построенный в доказательстве теоремы 4.2 изоморфизм связан с выбором базисов в линейных пространствах L и L'. Если в той или иной ситуации мы можем считать, что базис в линейном пространстве фиксирован, то вместо абстрактного n-мерного линейного пространства можно использовать "стандартное" линейное арифметическое пространство Rⁿ. Все рассуждения и выкладки в линейном арифметическом пространстве носят более конкретный и интуитивно понятный характер. Но считать базис в линейном пространстве фиксированным не всегда приемлемо, поэтому нельзя считать идентичными произвольные n-мерные линейные пространства. Обычно отождествляют линейные пространства, между которыми существует "естественный" изоморфизм, не связанный с выбором того или иного базиса. Например, как линейные пространства тождественны линейное пространство матриц типа m × n и линейное арифметическое пространство R^mn, так как между ними возникает изоморфизм, если установить соответствие между элементами матрицы типа m × n и компонентами mn - мерного арифметического вектора. Точно так же можно не различать линейное пространство строк длины n и линейное пространство столбцов высоты n.

Указанное отождествление линейных пространств позволяет записывать векторы линейного арифметического пространства в зависимости от ситуации и как матрицы-строки, и как матрицы-столбцы. Напомним, что элементами n-мерного линейного арифметического пространства являются упорядоченные совокупности из n чисел. Порядок чисел в каждой такой совокупности можно задавать различными способами, и запись ее в строку или столбец - лишь две возможности из бесчисленного множества способов.

Пример 4.6. В линейном пространстве К₃[х] многочленов переменного х степени не выше трех элементы 1, x, x², х³ образуют базис. Этому базису соответствует изоморфизм между К₃[х] и R⁴, при котором многочлену a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ сопоставляется арифметический вектор (a₀, a₁, а₂, а₃).

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ