Определение и примеры линейных операторов

Линейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейного пространства. Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраические соотношения. В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так как они естественным образом связаны со структурой линей-ного пространства.

Напомним некоторую терминологию из теории отображений [I]. Отображение f:X → Y называют сюръективным, если каждый элемент у ∈ Y является образом некоторого элемента х ∈ X. Отображение f: X → Y называют инъективным, если разные элементы х₁,x₂ ∈ X имеют разные образы. Отображение одновременно и сюръективное, и инъективное называют биективным. Биективное отображение устанавливает между множествами X и Y взаимно однозначное соответствие.

Определение 4.1. Отображение А: L → L' из линейного пространства L в линейное пространство L' называют линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия:

а) А(х + у) = А(х) + А(у) для любых векторов х, у ∈ L;

б) А(λх) = λА(х) для любого вектора х ∈ L и любого числа λ ∈ R.

Линейный оператор А: L → L, который осуществляет отображение линейного пространства L в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства L и говорят, что линейный оператор А действует в линейном пространстве L.

Условия а), б) определения 4.1 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых x, у ∈ L и любых действительных λ и μ

А(λх + μу) = λ(Ах) + μ(Ау). (4.1)

Нетрудно убедиться, что условия определения 4.1 являются частными случаями (4.1). С другой стороны, если выполнены условия а) и б), то

А(λх + μу) = А(λх) + А(μу) = λАх + μАу,

т.е. выполняется и (4.1).

Свойства а), б) линейности отображения делают более удобной не традиционную форму записи линейного оператора в виде А(x), при которой аргумент записывается в скобках вслед за функцией, а более простую в виде Ах как своеобразное "умножение линейного оператора на вектор". При такой записи условие а) определения 4.1 можно интерпретировать как свойство дистрибутивности этого "умножения", а условие б) - как свойство ассоциативности (если число λ записывать не слева от вектора, а справа, то запись будет выглядеть так: А(xλ) = (Ах) λ).

Непосредственно из определения 4.1 вытекает, что для любого линейного оператора А: L → L' образом АО нулевого вектора в L является нулевой вектор 0' в L': А(0) = 0'. Действительно,

А0 = А(0 • 0) = 0(А0) = 0'.

Рассмотрим несколько примеров линейных операторов. Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а), б) определения 4.1 или комбинированное условие (4.1). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное).

Пример 4.1. Пусть К_n[х] - линейное пространство многочленов одного переменного х степени, не превышающей натуральное число n. Для каждого многочлена Р(х) определена ero производная Р'(х), являющаяся многочленом степени не выше n - 1. Таким образом, на линейном пространстве К_n[х] определено отображение d/dx, которое каждому многочлену ставит в соответствие его производную. В качестве пространства значений такого отображения можно выбрать как исходное пространство К_n[х], так и пространство К_n-1[х]. Оба отображения

d/dx: K_n[х] → K_n[х], d/dx: K_n[х] → K_n-1[х]

являются линейными в силу свойств линейности производной (производная суммы функций равна сумме производных, при умножении функции на число производная этой функции умножается на это число).

Пример 4.2. В пространстве V₂ свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол φ против часовой стрелки представляет собой отображение V₂ в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из простых геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда очевидно, что сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол φ также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол φ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.

Пример 4.3.. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство Rⁿ, элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной n, и квадратную матрицу А порядка n. Отображение А: Rⁿ → Rⁿ, которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным опе-ратором в силу свойств умножения матриц:

А(λх + μу) = А( λх + μу) = λАх + μАу = λАх + μАу,

где λ,μ ∈ R, х,у ∈ Rⁿ.

Пример 4.4. В n-мерном линейном арифметическом пространстве Rⁿ для любого действительного числа k отображение А: Rⁿ → Rⁿ, определяемое формулой Ах = kх (растяжение в k раз с дополнительным отражением при k < 0), является линейным оператором. Этот линейный оператор - частный случай предыдущего, он может быть определен при помощи матрицы kЕ, где Е - единичная матрица.

Пример 4.5. Отображение А: Rⁿ → Rⁿ n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ах = х + а, где а ≠ 0 - некоторый фиксированный вектор, не является линейным, так как, например, образом ну-левого вектора является вектор а.

Определение 4.2. Каждому линейному оператору А: L → L' соответствуют:

- его ядро kerА - множество тех векторов х ∈ L, для которых Ах = 0', где 0' - нулевой вектор в L';

- его образ imА - множество векторов у ∈ L', являющихся значениями этого оператора.

Теорема 4.1. Для любого линейного оператора А: L -> L' его ядро kerА является линейным подпространством в L, а его образ imA - линейным подпространством в L'.

◄ Доказательство сводится к проверке условий определения 2.1 линейного подпространства. Пусть векторы х₁ и x₂ принадлежат множеству kerА, т.е. Ах₁ = 0', Ах₂ = 0'. Тогда, согласно условию а) определения 4.1,

А(х₁ + x₂) = Ах₁ + Аx₂ = 0' + 0' = 0',

т.е. вектор х₁ + х₂ принадлежит множеству kerА, а, согласно условию б) того же определения, для любого действительного числа λ

A(λx₁) = λ(Ax₂) = λ0' = 0',

т.е. и вектор λx₁ принадлежат kerА. Как видим, множество kerА замкнуто относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.

Если векторы у₁ и у₂ принадлежат множеству imA, то существует такие векторы x₁, x₂ ∈ L, что у₁ = Ax₁, у₂ = Ах₂. Но тогда, согласно условию а) определения 4.1,

y₁ + y₂ = Ax₁ + Аx₂ = A(x₁ + x₂),

т.е. вектор у₁ + у₂ является значением оператора А и, следовательно, принадлежит imA. Аналогично вектор

λy₁ = λ(Ax₁) = A(λx₁)

также входит в множество imA для любого λ ∈ R. Приходим к выводу, что и imA является линейным подпространством, но уже в линейном пространствеL'. ►

Размерности ядра и образа - важнейшие характеристики линейного оператора. Число dim(kerA) называют дефектом линейного оператора А, а число dim(imA) - его рангом. Отметим, что в примере 4.3 ядро оператора А имеет простую интерпретацию: это есть множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А.

Среди линейных операторов, отображающих линейное пространство L в себя есть два важных частных случая: тождественный оператор I, который каждый вектор переводит ,в себя (Iх = х), и нулевой оператор Θ, который каждый вектор отображает в нулевой (Θx = 0). Эти два оператора являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект (равный dimL) и минимальный ранг (нулевой). Тождественный оператор, на-оборот, имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный ранг (равный dimL). Оператор максимального дефекта опре-делен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много.

Линейный оператор А: L → L' с нулевым дефектом является инъективным. В самом деле, если дефект оператора равен нулю, то ядро этого оператора содержит единственный вектор - нулевой. Если Ах = Ау, то А(х - у) = 0. Значит, вектор х - у принадлежит ядру и потому является нулевым. Следовательно, х = у, т.е. различные векторы имеют в линейном пространстве L' различные образы. Наоборот, если оператор является инъективным, то в нулевой вектор линейного пространства L' может отображаться только нулевой вектор линейного пространства L. Значит, ядро линейного оператора содержит только нулевой вектор и дефект линейного оператора равен нулю.

Дефект d(A) и ранг Rg(A) оператора А: L → L' связаны с размерностью пространства L соотношением d(A) + Rg(A) = dimL. Действительно, рассмотрим прямое дополнение H к линейному подпространству ker А в линейном пространстве L. Тогда d(A) + dimH = dimL, и нам достаточно показать, что dimH = dimim А = Rg А. Линейный оператор А может рассматриваться как линейный оператор из линейного пространства H в линейное пространство L'. Очевидно, что Ах = 0 при х ∈ Н, лишь если х = 0. Поэтому линейный оператор А: H →imА на H имеет нулевой дефект и является сюръективным. Значит, он осуществляет биективное отображение линейного пространства H в линейное пространство imA. В следующем параграфе будет показано, что в этом случае размерности пространств H и imA совпадают.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ