Процесс ортогонализации Грама - Шмидта

В каждом ли евклидовом пространстве существует ортонормированный базис? Непосредственно из определения ответ на этот вопрос получить нельзя. Кроме того, формального ответа на вопрос не достаточно, нужно уметь находить и строить такие базисы.

Ответ на поставленный вопрос утвердительный, а построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама - Шмидта. Изложим этот алгоритм.

Пусть f = (f₁ ... f_n) - некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве Ε. Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис е = (e₁ ... е_n), который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы g₁ и e₁, g₂ и e₂ и т.д. по формулам:

Геометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при n = 3 (линейное пространство V₃) приведена на рис. 3.4.

Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов g_i не является нулевым вектором (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все векторы g_ii = 1,n, попарно ортогональны. Тогда и векторы е_i, i = 1,n, образуют ортогональную систему, но при этом норма каждого из этих векторов равна единице. Ортогональная система из n ненулевых векторов, согласно теореме 3.4, линейно независима и поэтому в n-мерном евклидовом пространстве является базисом.

Доказательство опирается на метод математической индукции. В соответствии с этим методом мы будем доказывать, что для любого k, k = 1,n, векторы e₁,..., е_k образуют ортогональную систему и длины их равны единице. Это утверждение очевидно при k = 1, так как в этом случае вектор g₁ ненулевой, потому что равен вектору f₁/||f₁|| единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного вектора, считают ортогональной по определению.

Пусть векторы e₁, ..., е_k образуют ортогональную систему. Вычислим новый вектор g_k+1 по формуле

g_k+1 = f_k+1 - (f_k+1, e₁) e₁ - ... - (f_k+1, е_k) е_k. (3.10)

Предположив, что g_k+1 = 0, заключаем, что

_k+1 = (f_k+1, e₁) e₁ + ... + (f_k+1, е_k) е_k,

т.е. вектор f_k+1 является линейной комбинацией векторов е₁ ..., е_k, которые в силу (3.9) выражаются через векторы f₁, ... , f_k. Следовательно, этот вектор является линейной комбинацией системы векторов f₁, ..., f_k, а система векторов f₁, ... , f_k, f_k+1 согласно теореме 1.1, линейно зависима. Но это противоречит условию линейной независимости системы f₁, ... , f_n (свойство 2°, с. 26).

Итак, предположение о том, что g_k+1 = 0, привело к противоречию и потому неверно. Нам остается убедиться, что вектор g_k+1 ортогонален каждому из векторов е₁,..., е_k. Умножим равенство (3.10) скалярно на вектор е_i, где i ≤ k. Учитывая, что векторы e_j попарно ортогональны при j ≤ k, получим:

(g_k+1, е_i) = (f_k+1, е_i) - (f_k+1, е_i) (е_i е_i) = (f_k+1, e_i) - (f_k+1, e_i) = 0,

так как (е_i, е_i) = 1. Следовательно, векторы e₁,..., е_k, e_k+1, где e_k+1 = g_k+1/||g_k+1|| образуют ортогональную систему векторов и имеют единичную длину.

Мы полностью обосновали процесс Грама - Шмидта. Как следствие можем сформулировать следующий теоретический результат.

Теорема 3.5. В конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

При практических применениях процесс Грама - Шмидта удобно модифицировать так, чтобы ограничиться вычислением векторов g_i и не использовать их нормированные варианты е_i. В этом случае нужно последовательно вычислить векторы g₁, ..., g_n, а затем провести их нормировку, приводящую к векторам е_i. Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, в левой колонке (3.9) заменим векторы е_i на g_i согласно формулам в правой колонке. Получим:

Пример 3.14. В линейном пространстве V₂ рассмотрим векторы a₁ и a₂ с длинами |a₁| = 2, |a₂| = 6 и углом между ними φ = π/3. Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен 0 или π, они неколлинеарны, а потому образуют базис в V₂. Построим при помощи процесса Грама - Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим:

g₁ = a₁

Затем полученные векторы g₁ и g₂ нормируем:

|g₁| = |a₁| = 2, e₁ = g₁/|g₁| = 1/2a₁,

|g₂|² = |a₂ - 3/2a₁|² = (a₂ - 3/2a₁, a₂ - 3/2a₁) = |a₂|² - 3(a₂,a₁) + 9/4|a₁|² = 6² - 3 • 6 • 2 • 1/2 + 9/4 • 2² = 27,

e₂ = g₂/|g₂| = 1/3√3 a₂ - 1/2√3a₁.

Векторы a₁, a₂ и построенный по ним ортонормированный базис е₁, е₂ представлены на рис. 3.5.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ