Ортогональные и ортонормированные базисы

Евклидово пространство является линейным пространством. Поэтому правомерно говорить о его размерности и его базисах. Как и произвольные линейные пространства, евклидовы пространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные.

Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов, то этот базис называют ортогональным. В силу теорешы 3.4 любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима, и если она в n-мерном евклидовом пространстве состоит из n векторов, то является базисом.

В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличие скалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.

Определение 3.7. Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждый вектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.

Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированием базисе в принципе не является существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты (разделив каждый вектор базиса на его длину). Однако дополнительная нормировка векторов упрощает изложение теории.

Пример 3.11. Система из трех векторов a = (1, 0, -1), b = (1, 0, 1), с = (0, 1, 0) в евклидовом арифметическом пространстве R³ образует ортогональный базис, потому что (а, b) = (а, с) = (b, с) = 0. Этот базис не является ортонормированным, так как, например, ||а|| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2 ≠ 1. Чтобы этот базис сделать ортонормированным, нужно векторы a и b разделить на их нормы, т.е. на число √2.

Пример 3.12. Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве V₂ свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базис в пространстве V₃.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ