Скалярное произведение

Есть несколько операций умножения векторов. Рассмотрим одну из них, результатом которой является действительное число, т. е. скалярная величина.

Определение 2.3. Скалярным произведением двух векторов а и b называют число, равное |a| |b| cosφ - произведению длин |а| и |b| этих векторов на косинус угла φ между ними.

Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами.

Скалярное произведение векторов а и b далее будем обозначать ab, хотя в литературе встречается и обозначение (a, b).

Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение ab векторов а и b получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора b на направление вектора а: ab = |а| пр_a b. Аналогично при b ≠ 0 имеем равенство ab = |b| пр_bа.

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90°), то такие векторы называют ортогональными.

Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору.

Теорема 2.7. Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

◄ Как следует из определения 2.3, скалярное произведение ненулевых векторов а и b равно |а| |b| cosφ. Поэтому его знак определяется углом p между векторами а и b:

- угол φ острый: ab > 0;

- угол φ тупой: ab < 0;

- угол φ прямой: ab = 0.

Мы видим, что два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними прямой. Если один из векторов является нулевым, то скалярное произведение также равно нулю. При этом угол между векторами не определен, но, как уже было отмечено, считают, что нулевой вектор ортогонален любому другому. ►

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

1°. Скалярное произведение коммутативно: ab = ba.

◄ Свойство непосредственно вытекает из определения 2.3, так как, согласно этому определению, скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей. ►

2°. Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна:

(λа)b = λ(аb).

◄ Если b = 0 - нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же b ≠ 0, то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора на направление вектора b и утверждение теоремы 1.2, получаем

(λа)b = b(λа) = |b| пр_b(λа) = λ|b| пр_bа = λ(аb). ►

3°. Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности:

(а + b)c = ас + bc.

◄ Доказательство аналогично предыдущему. При с = 0 обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же с ≠ 0, то удобно выразить скалярное произведение через ортогональные проекции векторов на направление вектора c. Используя теорему 1.2, находим

(а + b)c = |с| пр_c(а + b) = |с|(пр_cа + пр_cb) = |с|пр_cа + |с| пр_cb = ас + bc. ►

Величину аа называют скалярным квадратом вектора а и обозначают а².

4°. Свойство скалярного квадрата: а² ≥ 0, причем а² = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.

◄ Действительно, а² = аа = |а||а| cos0 = |а|² . Поскольку квадрат длины вектора - неотрицательное число, то неравенство а² ≥ 0 выполнено всегда. Равенство а² = 0 эквивалентно соотношению |а| = 0, т.е. тому, что а - нулевой вектор. ►

Замечание 2.2. Свойства 2° и 3° часто объединяют в свойство линейности скалярного произведения относительно первого сомножителя. Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1°) скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(λb) = (λb)а = λ(bа) = λ(ab), a(b + с) = (b + с)а = bа + са = ab + ас. #

Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач.

Пример 2.2. Найдем длину вектора a = 3с - 2d при условии, что |с| = 5, |d| = 4, а угол φ между векторами с и d равен 60°.

Поскольку |а| = √а², то, вычисляя скалярный квадрат вектора а, находим, что

а² = (3с - 2d)(3c - 2d) = 9с² - 12cd + 4d² = 9 |с|² - 12 |с| |d| cosφ + 4 |d|² = 9 ⋅ 25 - 12 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 16 = 225 - 120 + 64 = 169.

Следовательно, |a| = √а² = 13.

Пример 2.3. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 120°, а длина стороны AC в три раза больше расстояния между вершинами A и B. Найдем острый угол φ между стороной BC и медианой AM треугольника.

Угол φ между стороной BC и медианой AM (рис. 2.6) равен углу между векторами BC и AM. Согласно определению 2.3 скалярного произведения, косинус угла выражается через скалярное произведение этих векторов и их длины с помощью формулы

cosφ = (AM ⋅ BC)/ (|AM| ⋅ |BC|)

Пусть |AB| = s. Тогда |AC| = 3s, и поскольку BC = AC - AB, то

AM = AB + BM = AB + 0,5BC = AB + (AC - AB) = 0,5 (AC + AB)

и поэтому

AM ⋅ BC) = 0,5 (AC + AB)(AC - AB) = 0,5 (|AC|² + |AB|²) = 0,5 (9s² - s²) = 4s²

Вычислив длины векторов AM и BC:

Следовательно, острый угол между стороной BC и медианой AM равен φ = arccos(8/√91). #

Пусть векторы а и b из V₃ заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k: а = {x_a; y_a; z_a}, b = {x_b; y_b; z_b}. Это означает, что имеются разложения а = x_ai + y_aj + z_ak, b = x_bi + y_bj + z_bk. Используя их и свойства 1°-4° скалярного произведения, вычислим

ab = (x_ai + y_aj + z_ak)(x_bi + y_bj + z_bk) =x_ax_bii + x_ay_bij + x_az_bik + y_ax_bji + y_ay_bjj + y_az_bjk + z_ax_bki + z_ay_bkj + z_az_bkk = x_ax_bi² + y_ay_bj² + z_az_bk² = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b.

Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса i, j, k означает выполнение равенств ij = ik = jk = 0, i² = j² = k² = 1. Таким образом,

ab = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b, (2.14)

ab = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b, (2.14)

т. е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.

Из теоремы 2.7 и формулы (2.14) получаем следующий критерий ортогональности векторов а и b:

x_ax_b + y_ay_b + z_az_b = 0. (2.15)

Вспомним, что, согласно определению 2.3 скалярного произведения, ab = |a||b| cosφ, где φ = - угол между векторами a и b. Зная, как выражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами. Действительно, исходя из формулы

cosφ = ab/|а||b|

получаем

В случае, когда a, b ∈ V₂ и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе i, j: a = x_ai + y_aj, b = x_bi + y_bj, справедливы формулы, аналогичные (2.14)-(2.16):

для вычисления скалярного произведения

ab = x_ax_b + y_ay_b; (2.17)

для критерия ортогональности

x_ax_b + y_ay_b = 0;

для косинуса угла между ненулевыми векторами а и b

Пример 2.4. Найдем значения параметра t, при которых векторы a = {t; 1 - t; 7} и b = = {t + 1; 2; -2}, заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. Используя критерий (2.15) ортогональности векторов, получаем уравнение

t(t + 1) + 2(1 - t) - 14 = 0

относительно параметра t. Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при t = -3 и t = 4 данные векторы ортогональны.