Определение евклидова пространства

В линейном пространстве свободных векторов V₃ кроме линейных операций рассматривались и другие. Были введены две операции умножения векторов (скалярное и векторное), для вектора использовалась такая естественная характеристика, как длина (модуль). Взаимное расположение векторов можно было оценивать с помощью угла между ними [III].

Понятие скалярного произведения вводилось исходя из геометрических свойств свободных векторов (длины и угла между векторами). В произвольном линейном пространстве этих свойств пока нет, и поэтому мы не можем ввести скалярное произведение аналогичным способом. Однако такое произведение можно определить исходя из алгебраических свойств, которые были установлены для пространства V₃.

Определение 3.1. Линейное пространство Ε называют евклидовым пространством, если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов х,у ∈ Ε поставлено в соответствие действительное число (х, у), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:

а) {х,у) = {у,х);

б) (x + y,z) = (x,z) + (y,z);

в) ( λх,у) = λ(х,у), λ ∈ R;

г) (x, х) ≥ 0, причем (х, х) = 0 лишь в случае, когда x = 0.

Скалярное произведение часто обозначают так же, как и произведение чисел, т.е. вместо (x, у) пишут ху. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом (по аналогии с квадратом числа).

Пример 3.1. В линейном пространстве V₃ было введено скалярное умножение согласно правилу

(x, у) = |x| |y|cos(),

где - между векторами x и у,а |x|, |у| - их длины. Это умножение удовлетворяет приведенным аксиомам скалярного умножения [III] и, следовательно, полностью согласуется с определением 3.1. Таким образом, линейное пространство V₃ относительно указанной операции является евклидовым пространством.

Пример 3.2. В линейном арифметическом пространстве Rⁿ формула (x, у) = х₁у₁ + ... + х_nу_n вводит скалярное умножение, поскольку выполняются аксиомы скалярного умножения. Указанное скалярное умножение векторов из Rⁿ иногда называют стандартным, а само Rⁿ - евклидовым арифметическим пространством.

Пример 3.3. В произвольном n-мерном линейном пространстве L всегда можно ввести скалярное произведение, причем различными способами. Выберем в этом пространстве некоторый базис e₁, ..., е_n. Для произвольных векторов x = x₁e₁ + ... + x_nе_n и у = y₁e₁ +... + у_nе_n положим

(х,у) = x₁y₁ +... + x_ny_n.

Нетрудно убедиться, что аксиомы скалярного умножения выполняются, т.е. n-мерное линейное пространство становится евклидовым. Отметим, что разным базисам будут соответство-вать, вообще говоря, разные операции скалярного умножения.

Задание скалярного произведения через координаты векторов в некотором базисе можно рассматривать как обобщение стандартного скалярного произведения в Rⁿ: компоненты x₁, ..., х_n вектора (x₁, ..., х_n) ∈ Rⁿ являются координатами этого вектора относительно стандартного базиса в линейном арифметическом пространстве.

Пример 3.4. Линейное пространство С[0,1] всех функций, непрерывных на отрезке [0,1], тоже становится евклидовым, если в нем ввести скалярное умножение

Убедимся, используя свойства определенного интеграла [VI], что эта операция - действительно скалярное умножение.

Аксиома а):

Аксиома б):

Аксиома в):

Аксиома г):

Из свойств непрерывных функций следует, что последнее неравенство превращается в равенство только в случае, когда f(x) = 0. #

Непосредственно из аксиом скалярного умножения следует ряд его простейших свойств. Далее x, у, z - произвольные векторы евклидова пространства, а λ - действительное число.

Свойство 3.1. (x, λу) = λ(x, у).

◄ Это свойство аналогично аксиоме в) скалярного умножения и вытекает из равенств

(x, λу) = (λу, х) = λ(у, х) = λ(х, у),

которые выполнены в силу этой аксиомы и коммутативности скалярного умножения (аксиома а)). ►

Свойство 3.2. (x, y + z) = (x, у) + (x, z).

◄ Это свойство аналогично аксиоме б) и следует из равенств

(x, у + z) = (у + z, х) = (у, х) + (z, х) = (x, у) + (x, z),

которые выполнены в силу этой аксиомы и коммутативности скалярного умножения. ►

Свойство 3.3. (x, 0) - 0.

◄ Утверждение следует из свойства 3.1:

(x, 0) = (x, 0 • 0) = 0 (x, 0) = 0. ►

◄ Утверждение является обобщением аксиом б) и в) и выражает собой многократное применение этих аксиом. Доказательство базируется на методе математической индукции, который проводится по количеству m слагаемых в формуле. При m = 1 формула совпадает с аксиомой в) скалярного умножения. Пусть формула верна для некоторого значения m. Тогда

Свойство 3.5. Если векторы x и у евклидова пространства Ε таковы, что для любого z ∈ Ε выполнено равенство (x, z) = (у, z), то эти векторы совпадают: x = у.

◄ Это свойство не является достаточно очевидным и интуитивно понятным, но играет важную роль в некоторых доказатель-ствах. Чтобы доказать это свойство, преобразуем равенство (x, z) = (у, z) в форму (x - у, z) = 0, воспользовавшись аксиомой б). Полученное равенство верно для любого вектора z, в частности, оно верно для вектора z = x - у: (x - у, x - у) = 0. Последнее же равенство, согласно аксиоме г), может выполняться только в случае, когда x - у = 0. ►

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ