Размерность линейного подпространства

Линейное подпространство является линейным пространством относительно операций объемлющего линейного пространства и поэтому имеет размерность и базис.

Теорема 2.4. Если H - линейное подпространство линейного пространства L, то dimH ≤ dimL. Если к тому же H ≠ L, то dimH < dimL.

◄ Любой базис линейного подпространства H, рассматриваемого как линейное пространство, является линейно независимой системой векторов в объемлющем линейном пространстве L. Если этот базис из Н является базисом и в L, то, согласно теореме 1.5, dimH = dimL и ясно, что в этом случае H = L, так как у них есть общий базис. Если базис из Н не является базисом объемлющего линейного пространства L, то существует такой вектор x ∈L, который не является линейной комбинацией векторов этого базиса. В этом случае, конечно, линейное подпространство H не может совпадать с L. Добавив вектор х к векторам базиса, получим линейно независимую систему векторов (см. свойство 4°, с. 27). Это значит, что в L найдено больше линейно независимых векторов, чем dimH. Следовательно, согласно определению 1.5 размерности линейного пространства, dimН < dimL. ►

Замечание 2.1. Любой базис собственного подпространства Н линейного пространства L можно расширить, добавив вектор так, что расширенная система векторов останется линейно независимой. Если расширенная система опять не является базисом в L, процедуру расширения можно повторить. Для конечномерного линейного пространства очередное расширение через какое-то количество шагов станет невозможным, так как количество векторов в линейно независимой системе не может превышать размерности линейного пространства. Максимально расширенная система векторов будет линейно независимой, а любой вектор будет представляться ее линейной комбинацией, т.е. эта система векторов будет базисом в L. Согласно теореме 1.5, количество векторов в этой системе будет равно размерности линейного пространства L.

Приведенное рассуждение показывает, что любой базис собственного линейного подпространства может быть расширен до базиса объемлющего линейного пространства добавлением новых векторов. Например, рассмотрим линейное пространство V₃ с ортонормированным базисом i, j, k. Линейное подпространство Н = span{i,j} имеет размерность 2, так как его базисом является пара векторов i, j. Действительно, они линейно независимы, а любой вектор из Н представляется в виде линейной комбинации i и j согласно определению этого подпространства. Этот базис можно расширить до базиса в V₃, добавив один вектор. В качестве этого, дополнительного вектора можно взять любой вида x = αi + βj + γk с γ ≠ 0.

Теорема 2.5. Если H₁ и Н₂ - линейные подпространства линейного пространства L, то

dim(H₁ + Н₂) = dimH₁ + dimН₂ - dim(Н₁ ∩ Н₂).

◄ В линейном подпространстве Н₁ ∩ Н₂ выберем некоторый базис е = (e₁ ... e_m). Множество Н₁ ∩ Н₂ является линейным подпространством не только в L, но и в его части H₁. Поэтому выбранный базис можно дополнить некоторой системой векторов f = (f₁ ... f_l) до базиса (е f) в линейном подпространстве H₁. Точно так же систему е можно дополнить некоторым набором векторов g = (g₁ ... g_k) до базиса (е g) в Н₂. Докажем, что система векторов

(е f g) = (е₁ ... е_m f₁ ... f_l g₁ ... g_k)

является базисом в линейном пространстве Н₁ + Н₂.

Во-первых, установим, что указанная система линейно не-зависима. Пусть имеет место равенство

α₁e₁ +... + α_me_m + β₁f₁ + ...+ β₁f₁ + γ₁g₁ + ... + γ_kg_k = 0. (2.4)

Тогда для вектора

y = β₁f₁ + ... + β_lf_l (2.5)

выполнено равенство

у = -α₁e₁ - ... - α_mе_m - γ₁g₁ - ... - γ_kg_k. (2.6)

Согласно равенству (2.5) заключаем, что у ∈ H₁, а согласно (2.6) делаем вывод, что у ∈ H₂. Следовательно, у ∈ Н₁ ∩ Н₂ и потому имеет единственное разложение

y = δ₁e₁ +...+ δ_me_m (2.7)

по базису е линейного пространства Н₁ ∩ Н₂.

Разложение (2.7) можно рассматривать как разложение по базису (е g) в линейном подпространстве H₂. Но тогда разложения (2.6) и (2.7) совпадают как разложения одного и того же вектора в базисе (е j). Следовательно, γ_j = 0, j = 1,k, а все коэффициенты δ_i, отличаются от соответствующих коэффициентов α_i лишь знаком. С другой стороны, представление (2.5) вектора у и представление (2.7) того же вектора являются разложениями одного вектора в базисе (е f) линейного подпространства H₁ и потому совпадают. Их совпадениё означает, что β = ... = β_l = 0 и δ₁ = ... = β_m = 0. Тогда и α₁ = = ... = α_m = 0. Таким образом, все коэффициенты произвольно взятой линейной комбинации (2.4), равной нулевому вектору, оказались равными нулю. Значит, система векторов (е f g) линейно независима.

Во-вторых, любой вектор у ∈ H₁ + Н₂ есть линейная комбинация системы векторов (е f g). Действительно, такой вектор представим в виде у = y₁ + у₂, где y₁ ∈ H₁, у₂ ∈ H₂. Вектор y₁ представляется линейной комбинацией системы векторов (е f), а у₂ - линейной комбинацией системы векторов (е g). Поэтому у разлагается по системе векторов (е f g).

Итак, система векторов (е f g) линейно независима и любой вектор из H₁ + H₂ разлагается по этой системе. Следовательно, (е f g) - базис в H₁ + H₂. Нам остается подсчитать размерности:

Таким образом, получаем утверждение теоремы. ►

Следствие. dim(H₁ ⊕ H₂) = dimH₁ + dimH₂.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ