Вычисления в координатах

Выясним, что происходит с координатами векторов при выполнении линейных операций.

Теорема 2.5. При сложении двух векторов их координаты в одном и том же базисе складываются. При умножении вектора на число координаты этого вектора умножаются на это число.

◄ Для простоты остановимся, например, на пространстве V₃. Фиксируем в V₃ базис e₁, е₂, е₃. Возьмем два произвольных вектора x и у и запишем их разложения в выбранном базисе: x = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃, у = y₁e₁ + y₂e₂ + y₃e₃. Используя свойства линейных операций, вычисляем сумму этих векторов:

x + у = (x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃) + (y₁e₁ + y₂e₂ + y₃e₃) = (x₁ + y₁)e₁ + (x₂ + y₂)е₂ + (x₃ + y₃)е₃.

Мы получили разложение суммы векторов в фиксированном базисе. Отсюда заключаем, что координаты x_i и у_i исходных слагаемых, соответствующие одному вектору е_i в базисе (i = 1, 2, 3), складываются.

Аналогично с учетом свойств линейных операций имеем λx = λ(x₁e₁ + x₂е₂ + x₃e₃) = (λx₁)e₁ + (λx₂)e₂ + (λx₃)e₃. В итоге получаем разложение вектора λx в фиксированном базисе. Из этого разложения видим, что каждая из координат исходного вектора x умножена на число λ. ►

Разложение вектора в базисе имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим, например, пространство V₃. Разложение вектора d в базисе, скажем a, b, с, показано на рис. 2.2. Координатами вектора d будут отношения

d_a = ± |OA'|/|OA|, d_b = ± |OB'|/|OB|, d_c = ± |OC'|/|OC|,

где знаки выбирают в зависимости от того, является соответствующая пара коллинеарных векторов (например, OA и OA' для d_a) однонаправленной или нет.

Теорема 2.6. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их одноименные координаты в одном и том же базисе были пропорциональны.

◄ Докажем теорему в случае пространства V₃. Фиксируем в V₃ базис e₁, е₂, е₃. Рассмотрим разложения в выбранном базисе векторов x и у:

x = x₁e₁ +x₂e₂ + x₃е₃, у = y₁e₁ + y₂e₂ + y₃е₃. (2.6)

Если одноименные координаты этих векторов пропорциональны, т.е. существует такое λ ∈ R, что выполнены равенства

x₁ = λy₁, x₂ = λy₂, x₃ = λy₃, (2.7)

то x = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ = λy₁e₁ + λy₂e₂ + λy₃e₃ = λ(y₁e₁ + y₂e₂ + y₃e₃) = λy и из теорем 2.1, 2.2 следует, что векторы x и у коллинеарны. Достаточность условия доказана. Для доказательства его необходимости предположим, что векторы x и у коллинеарны. Но тогда по теореме 2.2 они линейно зависимы и в силу теоремы 2.1 один из них, например x, является линейной комбинацией "остальных", т.е. x = λy. Подставляя в это равенство разложения (2.6), получаем x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ = λ(y₁e₁ + y₂e₂2 + y₃e₃), или (x₁ - λy₁)e₁ + (x₂ - λy₂)e₂ + (x₃ - λy₃)e₃ = 0.

А поскольку вектор 0 в любом базисе имеет нулевые координаты, то из последнего равенства следуют соотношения (2.7). ►

Следствие 2.1. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы отношения их одноименных координат в одном и том же базисе были равны.

◄ Выражая λ из соотношений (2.7) и приравнивая полученные дроби, находим, что

x₁/y₁ = x₂/y₂ = x₃/y₃ (2.8)

Отметим, что в условии (2.8) в знаменателях дробей могут стоять нули, но при этом подразумевается, что и в числителе соответствующей дроби стоит нуль. Для пространства V₂ условие (2.8) сводится к равенству только первых двух дробей. ►

Пример 2.1. Пусть векторы e₁, е₂ образуют базис в V₂. Векторы a = 2e₁ - 3е₂, b = -e₁ + 3е₂ линейно независимы, так как 2/(-1) ≠ -3/3. Поэтому они тоже образуют базис в пространстве V₂. Найдем разложение в этом базисе векторов e₁ и с = 3e₁ - 6е₂.

Чтобы найти разложение вектора e₁, вычислим сумму векторов a и b: a + b = e₁. Следовательно, искомым разложением является e₁ = a + b.

Чтобы найти разложение вектора с, поступим следующим образом. Пусть с = λ₁a + λ₂b. Подставив в это равенство разложения векторов с, a, b в базисе e₁, е₂, приведем подобные слагаемые в правой части равенства. Получим, что

3e₁ - 6е₂ = λ₁(2e₁ - 3е₂) + λ₂(-e₁ + 3е₂) = (2λ₁ - λ₂)e₁ + (-3λ₁ + 3λ₂)e₂.

Поскольку каждый вектор в любом базисе имеет единственное разложение, то λ₁, λ ₂должны удовлетворять системе уравнений

Решая эту систему, находим, что λ₁ = 1, λ₂ = -1. Это значит, что с = a - b.

Определение 2.2. Базис называют ортогональным, если он состоит из векторов, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых. Базис называют ортонормированным, если он ортогональный и состоит из единичных векторов.

Параллелепипед, изображенный на рис. 2.2 в ортонормированном базисе i, j, k в V₃, является прямоугольным, а точки A', B', С' - ортогональными проекциями точки D на соответствующие прямые. Координаты вектора d = OD в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям этого вектора на направления векторов, образующих этот базис.

Ортонормированный базис в пространстве V₃ принято обозначать, с учетом порядка, буквами i, j, k, в V₂ - соответственно i, j и в V₁ - i.

В случае ортонормированного базиса в пространстве V₃ легко найти расстояние от точки O до произвольной точки X. По теореме Пифагора |OX|² = |OX_i|² + |OX_j|² + |OX_k|² (рис. 2.3), где точки X_i, X_j, X_k - ортогональные проекции точки X на соответствующие оси. Но длины отрезков OX_i, OX_j, OX_k - это абсолютные значения координат вектора x = OX в базисе i, j, k. В результате получаем формулу для вычисления длины вектора x с координатами {x₁; x₂; x₃} в ортонормированном базисе i, j, k пространства V₃:

|x| = √(x²₁ + x²₂ + x²₃), x ∈ V₃. (2.9)

Аналогично вычисляют длину вектора из пространства V₂ по его координатам x₁, x₂ в ортонормированном базисе:

|x| = √(x²₁ + x²₂ ), x ∈ V₂. (2.10)

и длину вектора из V₁ с координатой x₁ в ортонормированном базисе:

|x| = √(x²₁ ) = |x₁|, x ∈ V₁. (2.10)

Пусть ненулевой вектор x ∈ V₃ образует с направлениями векторов ортонормированного базиса i, j, k углы α, β и γ соответственно. Величины cosα,cosβ, cosγ называют направляющими косинусами вектора x (рис. 2.4). Направляющие косинусы не зависят от длины вектора, они характеризуют направление вектора и при умножении вектора на положительное число не изменяются.

Направляющие косинусы вектора можно использовать при вычислении его координат. Если ненулевой вектор x ∈ V₃ имеет в ортонормированном базисе i, j, k координаты {x₁; x₂; x₃} и направляющие косинусы cosα,cosβ, cosγ, то

x₁ = |x|cosα, x₂ = |x|cosβ, x₃ = |x|cosγ. (2.12)

Используя формулу (2.9) для вычисления длины вектора, получаем |x|² = |x|² cos²α + + |x|²cos²β + |x|²cos²γ, откуда после сокращения на |x| ≠ 0 вытекает следующая формула связи для направляющих косинусов:

cos²α + cos²β + cos²γ = 1. (2.13)

Для любых углов α,β, γ из отрезка [0, π], удовлетворяющих соотношению (2.13), существует вектор, направляющими косинусами которого являются величины cosα, cosβ, cosγ. В качестве примера можно взять вектор {cosα, cosβ, cosγ}. Согласно формулам (2.9) и (2.13) этот вектор имеет единичную длину, а значения cosα, cosβ, cosγ представляют собой направляющие косинусы этого вектора.

В случае ортонормированного базиса в пространстве V₂ направление вектора удобно указывать одним углом φ, который отсчитывается от первого вектора базиса против хода часовой стрелки в случае положительного значения (рис. 2.5). Угол φ, длина вектора x и его координаты {x₁; x₂} связаны соотношениями: x₁ = |x| cosφ, x₂ = |x| sinφ.