Линейная зависимость

Из данного набора векторов x₁, x₂,..., x_k линейного пространства L при помощи линейных операций можно составить выражение вида

α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_kx_k, (1.1)

где α₁, α₂, ... ,α_k - произвольный набор действительных чисел. Такое выражение называют линейной комбинацией векторов x₁, x₂,..., x_k а действительные числа α₁, α₂, ... ,α_k - коэффициентами линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, а в противном случае - нетривиальной.

Конкретный (неупорядоченный) набор векторов x₁, x₂,..., x_k линейного пространства будем называть системой векторов, а любую его часть - подсистемой.

Определение 1.2. Систему векторов x₁, x₂,..., x_k в линейном пространстве L называют линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Если же линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору только лишь в случае, когда она тривиальна, систему векторов называют линейно независимой. Опуская слово "система", часто говорят: векторы x₁, x₂,..., x_k линейно зависимы или соответственно линейно независимы.

Линейная зависимость системы векторов x₁, x₂,..., x_k означает, что существуют такие коэффициенты α₁, α₂, ... ,α_k ∈ R, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство

ахжх + а2Ж2 + ... + otk Xk = 0. (1.2)

α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_kx_k= 0 (1.2)

Векторы x₁, x₂,..., x_kлинейно независимы, если из равенства

α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_kx_k= 0

вытекает, что α₁ = α₂ = ... = α_k = 0. В такой интерпретации понятия линейной зависимости и независимости мы будем использовать в различных доказательствах.

Следующее утверждение дает простой критерий линейной зависимости векторов.

Теорема 1.1. Для того чтобы система векторов x₁, x₂,..., x_k была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов системы являлся линейной комбинацией остальных.

◄ Необходимость. Пусть векторы x₁, x₂,..., x_k линейно зависимы. Согласно определению 1.2, это означает, что существуют коэффициенты alpha;₁, α₂, ... ,α_k ∈ R, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство (1.2). Не теряя общности, мы можем считать, что α₁ ≠ 0, так как этого всегда можно добиться изменением нумерации векторов в системе.

Из равенства (1.2), используя обычные правила преобразования выражений (см. замечание 1.2), находим

x₁ = - α₂/α₁ x₂ - ... - α_k/α₁ x_k.

Следовательно, вектор х₁ является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Достаточность. Теперь предположим, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Как и выше, можно, не теряя общности, считать, что таким является вектор х₁. Согласно этому предположению, существуют такие коэффициенты α₂, ..., α_k, что

x₁ = α₂x₂ + ...+ α_kx_k.

Преобразуя очевидным образом записанное выражение, получаем

1 • x₁ - α₂x₂ - ... - α_kx_k = 0.

В левой части этого равенства стоит линейная комбинация векторов системы. Она равна нулевому вектору, но не все ее коэффициенты равны нулю (например, коэффициент при векторе х₁ равен единице). Согласно определению 1.2, это означает, что система векторов x₁, x₂,..., x_k я к линейно зависима. ►

Пример 1.4. В линейном пространстве С[0,2π] функций, непрерывных на отрезке [0, 2π], рассмотрим функции 1, sin²x, cos2x. Система из этих трех элементов линейного пространства линейно зависима, поскольку в силу известной формулы тригонометрии функция sin²х является линейной комбинацией двух других функций:

sin²x = (1 - 2cos2x)/2.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ