Базис

Аналогично трем моделям геометрии (геометрии на прямой, на плоскости и в пространстве) мы рассмотрим три множества свободных векторов, или, как говорят, три пространства векторов: пространство V₁ всех коллинеарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой прямой, пространство V₂ всех компланарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой плоскости, и пространство V₃ всех свободных векторов.

Рассмотрим пространство V₁. Любой ненулевой вектор пространства V₁ называют базисом в V₁. Любые два вектора этого пространства, будучи коллинеарными, линейно зависимы, т.е. один из них может быть получен из другого умножением на число. Выберем и зафиксируем в V₁ базис, т.е. вектор е = 0. Тогда любой вектор x ∈ V₁ представляется в виде x = λe. Это равенство называют разложением вектора x в базисе е, а число λ - координатой вектора x в этом базисе. Отметим, что коэффициент λ при этом определен однозначно. Действительно, этот коэффициент равен λ = ±|x|/|e|, причем выбирают знак плюс, если векторы x и е однонаправлены, и знак минус в противоположном случае.

Рассмотрим пространство V₂. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве V₂ называют базисом в V₂. Выберем в этом пространстве базис, т.е. два не-коллинеарных вектора е₁, е₂. Согласно теореме 2.3, эти два вектора и любой третий вектор x, будучи компланарными, линейно зависимы. Поэтому один из них является линейной комбинацией двух других. При этом можно утверждать, что вектор x выражается через е₁ и е₂. Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов

αx + β₁e₁ + β₂е₂ = 0, (2.3)

в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Сразу делаем вывод, что α ≠ 0, так как в противном случае в равенстве (2.3) слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы е₁, е₂ линейно зависимы. Но этого быть не может, так как они не коллинеарны (см. теорему 2.2). Так как α ≠ 0, мы можем разделить равенство (2.3) на α. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида

x = λ₁e₁ + λ₂е₂, (2.4)

которое называют разложением вектора x в базисе е₁ е₂, а коэффициенты λ₁, λ₂ этого представления - координатами вектора x в базисе е₁ е₂.

Отметим, что в представлении (2.4) коэффициенты λ₁ и λ₂ определены однозначно. Это можно обосновать, анализируя доказательство теоремы 2.3 (используемый в доказательстве параллелограмм однозначно определен диагональю и прямыми, на которых лежат смежные стороны). Однако то же можно установить, используя лишь факт линейной независимости векторов e₁ и е₂.

В самом деле, если есть два представления x = λ₁e₁ + λ₂e₂ = μ₁e₁ + μ₂e₂, то, перенеся в последнем равенстве все слагаемые влево и используя свойство 8° (см. с. 5) дистрибутивности умножения вектора на число относительно чисел, получим (λ₁ - μ₁)e₁ + (λ₂ - μ₂)е₂ = 0. Коэффициенты в этом равенстве слева равны нулю, так как векторы e₁, е₂ линейно независимы (они неколлинеарны, см. теорему 2.2). Таким образом, λ₁ = μ₁, λ₂ = μ₂, и два взятых нами представления вектора x совпадают.

Рассмотрим пространство V₃. Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базисом в V₃. Выберем в V₃ базис, т.е. любые три некомпланарных вектора e₁, е₂, е₃. Эти три вектора с добавленным к ним произвольным четвертым вектором x линейно зависимы (см. теорему 2.4). Можно доказать так же, как мы это делали в случае пространства V₂, что вектор x является линейной комбинацией векторов e₁, е₂, е₃:

x = λ₁e₁ + λ₂e₂ + λ₃e₃. (2.5)

При этом коэффициенты в представлении (2.5) определены однозначно, так как векторы e₁, е₂, е₃ линейно независимы. Представление вектора x в виде (2.5) называют разложением этого вектора в базисе e₁, е₂, е₃, а коэффициенты λ₁, λ₂ и λ₃ разложения - координатами вектора x в базисе e₁, е₂, е₃.

Векторы в базисах пространств V₂ и V₃, согласно определению базисов, являются упорядоченными. Порядок векторов в базисе устанавливает порядок среди координат любого вектора, и поэтому координаты всегда считают тоже упорядоченными. Если базис, например, в пространстве V₃ фиксирован, то каждому вектору из V₃ соответствует единственная упорядоченная тройка чисел, составленная из его координат. Кроме того, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная линейная комбинация векторов базиса, т.е. вектор из V₃, координаты которого совпадают с этой тройкой чисел. Поэтому, если базис фиксирован, то векторы можно рассматривать как упорядоченные наборы их координат в этом базисе.

Эту возможность часто используют, отождествляя векторы с упорядоченными наборами их координат. Например, если вектор x из V₃ в базисе e₁, е₂, е₃ имеет разложение x = 2e₁ + 3е₂ - 4е₃, то этому вектору соответствует упорядоченная тройка его координат, которую часто записывают так: {2; 3; -4}. Более того, отождествляют вектор с упорядоченной тройкой координат и пишут x = {2; 3; -4}, вкладывая в это равенство указанный выше смысл.

Итак, если базис в пространстве V₁, V₂ или V₃ фиксирован, то любой вектор из этого пространства однозначно определен своими координатами, записанными в порядке следования векторов базиса. Поэтому можно сказать, что координаты вектора являются представлением, или "изображением", этого вектора в данном базисе.