Критерий совместности СЛАУ

Векторная запись СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу

называют расширенной матрицей СЛАУ (13.1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Критерий совместности СЛАУ дает следующая теорема Кронекера — Капелли.

Теорема 13.1. Для совместности СЛАУ Ax = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы (A|b).

◄ Необходимость. Отметим, что ранг матрицы A СЛАУ Ax = b не превышает ранга расширенной матрицы (A | b). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы системы не меньше ранга ее расширенной матрицы. Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных x₁, ... , x_n, для которых a₁x₁ + ... + a_nx_n = b, где a_i — столбцы матрицы A, b — столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комбинациейостальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы A. Для простоты пусть он содержит строки с номерами 1,2,..., k и столбцы с теми же номерами, т.е.

Согласно теореме 12.5 о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j > k существуют такие λ_ij ∈ R, i = 1.k, что a_j = λ_1ja₁ +... + A_kja_k. Поэтому столбец

b = a₁x₁ + ... + a_kx_k + a_k+1x_k+1 + ... + a_nx_n = a₁x₁ + ... + a_kx_k + (λ_1,k+1a₁ + ... + λ_k,k+1a_k )x_k+1 + ... + ( λ_1na₁ + ... + _kna_k)X_n

является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор M', то либо он будет минором матрицы A, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A | b) = Rg A.

Достаточность. Пусть Rg(A | b) = RgA. Выберем в A базисный минор M (как и выше). Тогда он будет базисным и в матрице (A | b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a₁, ..., a_k: b = x°₁a₁ + ... + x°_ka_k. Полагая x°_k+1 = x°_k+2= ... = x°_n = 0, получаем решение x°₁, ..., x°_n исходной СЛАУ, поскольку

b = x°₁a₁ + ... + x°_ka_k = x°₁a₁ + ... + x°_ka_k + 0a_k+1 + ... + 0a_n.

Это означает, что СЛАУ совместна. ►

Из векторной записи СЛАУ вытекает также следующий критерий существования ненулевых решений у квадратной однородной СЛАУ.

Теорема 13.2. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена.

◄ Из векторной записи СЛАУ (13.2) вытекает, что существование ненулевого решения однородной СЛАУ Ax = 0 равносильно сущестованию равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы A, в которой не все коэффициентами нулевые. Другими словами однородная СЛАУ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда столбцы ее матрицы линейно зависимы. Согласно следствию 12.1 из теоремы о базисном миноре линейная зависимость столбцов квадратной матрицы равносильная ее невырожденности, что и доказывает теорему. ►

Замечание 13.1. Из теоремы 12.7 вытекает, что столбцы матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше количества столбцов. Сопоставляя этот факт с доказательством последней теоремы, приходим к следующему критерию существования ненулевых решений однородной СЛАУ: однородная СЛАУ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше количества неизвестных.