Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (13.1) записи СЛАУ часто используют и другие ее представле ния.

Рассматривая коэффициенты a_ij СЛАУ при одном неизвестном x_j как элементы столбца, а x_j как коэффициент, на который умножается столбец, из (13.1) получаем новую форму записи СЛАУ:

или, обозначая столбцы соответственно a₁, ..., a_n, b,

x₁a₁ + ... + x_na_n = b (13.2)

Таким образом, решение СЛАУ (13.1) можно трактовать как представление столбца b в виде линейной комбинации столбцов а₁, ..., а_n. Соотношение (13.2) называют векторной записью СЛАУ.

Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (13.1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц. Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (13.1) можно записать так (см. пример 10.5):

или Ax = b, где A - матрица типа m×n; x — столбец неизвестных; b — столбец свободных членов:

Матрицу A называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (13.1) Поскольку A, x и b являются матрицами, то запись СЛАУ (13.1) в виде Ax = b называют матричной. Если b = 0, то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид Ax = 0.

Приведенные рассуждения показывают, что задачи:

а) решения СЛАУ (13.1);

б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов;

в) решения матричных уравнений вида Ax = b

являются просто различной формой записи одной и той же задачи.