Вычисление ранга матрицы

^Теория

Для вычисления ранга матрицы применяют два метода: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров. Минор М' матрицы A называют окаймляющим для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы A. Ясно, что порядок окаймляющего минора М' на единицу больше, чем порядок минора М.

Метод окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров, позволяющий найти один из базисных миноров матрицы, состоит в следующем. Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема 12.8. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным. #

Пример 12.2. Найдем ранг матрицы

На первом шаге выбираем любой ненулевой элемент матрицы, например левый верхний элемент, т.е. 2. Это ненулевой минор первого порядка.

На втором шаге строим окаймляющий минор второго порядка. Добавляем 2-ю строку и 2-й столбец и вычисляем получающийся окаймляющий минор

Это окаймление не подходит.

Меняем 2-й столбец на 3-й. Получаем минор второго порядка

Это окаймление подходит.

Третий шаг: добавляем к этому минору 3-ю строку и можно снова попытаться использовать 2-й столбец. Оказывается, что

значит, выбранный минор третьего порядка подходит.

Четвертый шаг: добавляем 4-ю строку (других нет) и 4-й столбец и вычисляем определитель четвертого порядка

Выбранный окаймляющий минор не подходит. Меняем 4-й столбец на 5-й:

Итак, ненулевой минор третьего порядка M_1,2,3^1,2,3 имеет два окаймляющих минора четвертого порядка и оба они равны нулю. Других окаймляющих миноров четвертого порядка нет. Поэтому делаем вывод, что M_1,2,3^1,2,3 — базисный минор, а ранг матрицы равен трем.

Метод элементарных преобразований. При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы ее ранг, согласно теореме 12.2, не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например, согласно теореме 10.1, с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Пример 12.3. Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Для этого достаточно привести матрицу к ступенчатому виду, воспользовавшись, например, алгоритмом из доказательства теоремы 10.1. Отметим, что вычисления удобно проводить, если текущий элемент равен единице. Поэтому операцию 2* алгоритма (перестановка строк) будем выполнять не только для замены нулевого текущего элемента (так было заложено в алгоритме), но также и для того, чтобы в качестве текущего элемента получить единицу или другое небольшое целое число. Отметим также, что можно в любое время умножать ту или иную строку матрицы на ненулевое число, в частности сокращать элементы строки на общий множитель, хотя это и не предусматривается алгоритмом. Эта дополнительная операция позволяет упростить вычисления:

Полученная матрица ступенчатого вида имеет три ненулевые строки, поэтому ранг этой матрицы и, следовательно, матрицы A равен трем. Базисным минором в последней матрице является M_1,2,3^1,2,3

Замечание 12.1. Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга. При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться

большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из ее базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением ее вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы. В примере 12.3, вычислив наудачу минор третьего порядка, стоящий в тех же строках и столбцах, что и в преобразованной матрице ступенчатого вида, получим

Следовательно, он является одним из базисных миноров матрицы A.