Линейная зависимость строк и столбцов

Строки и столбцы матриц можно рассматривать как матрицы-строки и, соответственно, матрицы-столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять линейные операции. Ограничение на операцию сложения состоит в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполнено для строк (столбцов) одной матрицы.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений α₁а₁ + ... + α_sa_s, где а₁, ..., a_s — произвольный набор строк (столбцов) одинаковой длины (высоты), а α₁, ... , α_s — действительные числа. Такие выражения называют линейными комбинациями строк (столбцов).

Определение 12.3. Строки (столбцы) а₁, ..., a_s называют линейно независимыми, если равенство

α₁а₁ + ... + α_sa_s = 0, (12.1)

где 0 в правой части — нулевая строка (столбец), возможно лишь при α₁ = ... = a_s = 0. В противном случае, когда существуют такие действительные числа α₁, ... , α_s, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (12.1), эти строки (столбцы) называют линейно зависимыми.

Следующее утверждение известно как критерий линейной зависимости.

Теорема 12.3. Строки (столбцы) а₁, ..., a_s, s > 1, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных.

◄ Доказательство проведем для строк, а для столбцов оно аналогично.

Необходимость. Если строки a₁, ..., a_s линейно зависимы, то, согласно определению 12.3, существуют такие действительные числа α₁, ... , α_s, не равные нулю одновременно, что α₁a₁ +... + α_sa_s = 0. Выберем ненулевой коэффициент αα_i. Для определенности пусть это будет α₁. Тогда α₁a₁ = (-α₂)a₂ + ... + (-α_s)a_s и, следовательно, a₁ = (-α₂/α₁)a₂+ ... + (-α_s/α₁)a_s , т.е. строка a₁ представляется в виде линейной комбинации остальных строк.

Достаточность. Пусть, например, a₁ = λ₂a₂ + ... + λ_sa_s. Тогда 1a₁ + (-λ₂)a₂ + ... +(-λ_s)a_s = 0. Первый коэффициент линейной комбинации равен единице, т.е. он ненулевой. Согласно определению 12.3, строки a₁, ..., a_s линейно зависимы. ►

Теорема 12.4. Пусть строки (столбцы) а₁, ..., a_s линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) b₁,..., b_l является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) a₁, ..., a_s, b₁, ..., b_l линейно зависимы.

◄ Пусть, например, b₁ есть линейная комбинация a₁, ..., a_s, т.е. b₁ = α₁a₁ + ... + α_sa_s, α_i ∈R, i = 1,s. В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) b₂, ..., b_l (при l > 1) с нулевыми коэффициентами: b₁ = α₁a₁ + ... + α_sa_s + 0b₂ + ... + 0b_l. Согласно теореме 12.3, строки (столбцы) a₁, ..., a_s, b₁, ..., b_i линейно зависимы. ►