Решение матричных уравнений

Мы рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы X: AX = B и XA = B, где A и B — известные матрицы, причем матрица A квадратная и невырожденная. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительно неизвестной матрицы X, если при ее подстановке вместо X матричное уравнение превращается в тождество.

Начнем с уравнения AX = B и изложим два метода его решения.

Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы A^-1 (например, при помощи присоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде X = A^-1B. Действительно, подставляя X = A^-1B в уравнение AX = B, получаем A(A^-1B) = B, т.е. B = B, и X = A^-1B является решением матричного уравнения AX = B. Более того, это решение единственно, так как для любого другого решения X' выполнено тождество AX' = B, после умножения которого слева на A^-1 оказывается, что A^-1(AX') = A^-1B, т.е. (A^-1A)X' = X и, следовательно, X' = X.

Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы (A | B) и имеет своей целью преобразование ее к виду (E | B₁), в котором вместо матрицы A стоит единичная матрица E. Тогда матрица B₁ и будет решением уравнения. Если матрица B совпадает с единичной, то в этом частном случае получается метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы.

Пример 11.3. Найдем решение матричного уравнения AX = B, имеющего вид

Воспользуемся методом элементарных преобразований. Для этого запишем матрицу (A|B) и выполним те же элементарные преобразования ее строк, что и в примере 11.2 (так как матрицы A и цели преобразований совпадают):

Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение:

Матричное уравнение XA = B также можно решить двумя способами. Если известна матрица A^-1, то умножаем справа на A^-1 матричное уравнение XA = B и после очевидных преобразований (XA)A^-1 = BA^-1, Х (AA^-1) = BA^-1, XE = BA^-1 получаем ответ в виде произведения двух матриц X = BA^-1.

Пример 11.4. Найдем решение матричного уравнения XA = B, имеющего вид

Поскольку обратная матрица A^-1 известна (см. пример 11.2), то

Другой метод решения матричного уравнения XA = B состоит в транспонировании его левой и правой частей (XA)^T = B^T, A^TX^T = B^T. После введения новой неизвестной матрицы Y = X^T получаем уравнение вида A^TY = B^T, которое решается методом элементарных преобразований.

Пример 11.5. Чтобы решить матричное уравнение из примера 11.4, транспонируем его . После элементарных преобразований строк блочной матрицы получаем

Итак, что, конечно же, совпадает с решением этого уравнения, найденным в примере 11.4.