Линейная зависимость и независимость векторов

Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для векторных величин и преобразовывать их при помощи установленных для этих операций свойств.

Исходя из заданного набора векторов а₁, ..., а_n, можно составить выражение вида

где а₁, ..., а_n - произвольные действительные числа. Это выражение называют линейной комбинацией векторов а₁, ..., а_n. Числа α_i, i = 1, n, представляют собой коэффициенты линейной комбинации. Набор векторов называют еще системой векторов.

В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов а₁, ..., а_n. Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, и о единственности такого представления.

Определение 2.1. Векторы а₁, ..., а_n называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов α₁, ... , α_n, что

α₁a₁+ ... + α_nа_n = 0 (2.2)

и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.

Если α₁ = ... = α_n = 0, то, очевидно, α₁а₁ + ... + α_nа_n = 0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы а₁, ..., а_n линейно независимы, если из равенства (2.2) вытекает, что все коэффициенты α₁, ... , α_n равны нулю.

Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином "зависимость" (или "независимость"), и дает простой критерий линейной зависимости.

Теорема 2.1. Для того чтобы векторы а₁, ..., а_n, n > 1, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

◄ Необходимость. Предположим, что векторы а₁, ..., а_n линейно зависимы. Согласно определению 2.1 линейной зависимости, в равенстве (2.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например α₁. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство на α₁, получим

a₁=-α₂/α₁ ⋅ a₂ - ... - α_n/α₁ ⋅ a_n

т.е. представление вектора a₁ в виде линейной комбинации остальных векторов а₂, ..., а_n.

Достаточность. Пусть, например, первый вектор а₁ можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: а₁ = β₂а₂ + ... + β_nа_n. Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим а₁ - β₂а₂ - ... - β_nа_n = 0, т.е. линейную комбинацию векторов а₁, ..., а_n с коэффициентами α₁ = 1, α₂ = - β₂, ..., α_n = - β_n, равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 2.1, векторы а₁, ..., а_n линейно зависимы. ►

Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов. Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, нужно вместо "векторы линейно зависимы" говорить "система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение "система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеется только один коэффициент, и он не должен равняться нулю).

Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию. Эту ин-терпретацию проясняют следующие три утверждения.

Теорема 2.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

◄ Если векторы а и b линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = λb для некоторого действительного числа λ. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и b являются коллинеарными.

Пусть теперь векторы а и b коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая их линейная комбинация равна нулевому вектору. Пусть один из этих векторов не равен 0, например вектор b. Обозначим через λ отношение длин векторов: λ = |а|/|b|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными или противоположно направленными. В последнем случае у λ изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = λb. Согласно теореме 2.1, векторы а и b линейно зависимы. ►

Замечание 2.1. В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов.

Теорема 2.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

◄ Если три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: а = βb + γс. Совместим начала векторов b и с в точке A. Тогда векторы βb, γс будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор а, будет представлять собой вектор с началом A и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

Пусть векторы а, b, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соот-ветственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A' и B', получим параллелограмм OA'CB', следовательно, OC' = OA' + OB'. Вектор OA' и ненулевой вектор а= OA коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное число α:OA' = αOA. Аналогично OB' = βOB, β ∈ R. В результате получаем,что OC' = α OA + βOB, т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов а и b. Согласно теореме 2.1, векторы a, b, с являются линейно зависимыми. ►

Теорема 2.4. Любые четыре вектора линейно зависимы.

◄ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 2.3. Рассмотрим произвольные четыре вектора a, b, с и d. Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три из четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы. Например, если векторы а и b коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию αa + βb = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную 0 линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты.

Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не являются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О. Тогда концами векторов a, b, с, d будут некоторые точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, OCA, OAB, и пусть A', B', С' - точки пересечения этих плоскостей с прямыми OA, OB, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед OA'C"B'C'B"DA", и векторы a, b, с лежат на его ребрах, выходящих из вершины О. Так как четырехугольник OC"DC' является параллелограммом, то OD = OC" + OC'. В свою очередь, отрезок ОС" является диагональю параллелограмма OA'C"B', так что OC" = OA' + OB', а OD = OA' + OB' + OC'.

Остается заметить, что пары векторов OA ≠ 0 и OA', OB ≠ 0 и OB', OC ≠ 0 и OC' коллинеарны, и, следовательно, можно подобрать коэффициенты α, β, γ так, что OA' = αOA, OB' = βOB и OC' = γOC. Окончательно получаем OD = αOA + βOB + γOC. Следовательно, вектор OD выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 2.1, линейно зависимы. ►