Прямая сумма матриц

Определение 10.7. Пусть даны квадратные матрицы A порядка m и B порядка n. Прямой суммой матриц A и B называют квадратную блочную матрицу C = A ⊕ B порядка m + n равную , где Θ обозначает нулевой блок ( нулевую матрицу типа m×n вверху справа и n×m внизу слева).

Укажем основные свойства прямой суммы матриц.

1°. Прямая сумма ассоциативна: (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)

◄ В результате выполнения операций в левой и правой частях равенства получается одна и та же блочно-диагональная матрица , где нулевые матрицы имеют соответствующий тип. ►

2°. Пусть квадратные матрицы A₁ и A₂ имеют порядок m, а квадратные матрицы B₁ и B₂ — порядок n. Тогда (A₁⊕B₁) + (A₂⊕B₂) = (A₁ + A₂)⊕(B₁ + B₂), (A₁⊕B₁)(A₂⊕B₂) = A₁A₂⊕B₁B₂.

◄ Действительно, эти записи означают следующее:

что соответствует операциям над блочными матрицами. ►