Транспонирование матриц

^Теория

Определение 10.5. Для матрицы A = (а_ij) типа mtimes;n ее транспонированной матрицей называют матрицу A^T = (c_ij) типа ntimes;m с элементами c_ij = а_ji.

При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспонированной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее главной диагонали. Подробнее:

Пример 10.2. Транспонируем следующие три матрицы:

Обсудим свойства операции транспонирования.

1°. (A^T)^T = A

◄ Отметим, что матрицы (A ^T)^T и А имеют одинаковые размеры. Кроме того, [(A^T)^T]_ij= [(A^T)]^ji = [A]_ij. ►

2°. (A + B)^T = A^T + B^T.

◄ [(A + B)^T]_ij = [(A + B)]_ji = [A]_ji + [B]_ji = [A^T]_ij + [B^T]_ij = [A^T + B^T]_ij. ►

3°. (λA)^T = λA^T, λ ∈ R.

◄ [(λA)^T]_ij = [λA]_ji = λ[A]_ji = λ[A^T]_ij = [λA^T]_ij. ►

Если A^T = A, то матрицу A называют симметрической, а если A^T = —A — кососимметрической. И в том и в другом случае матрица должна быть квадратной. Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, равны между собой. Действительно, [A^T]_ij- = [A]_ji и из равенства A^T = A следует, что [A]_ji = [A]_ij. Элементы же кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные — равны нулю. Действительно, [A^T]_ij = [A]_ji и из равенства A^T = -A следует, что [A]_ji = - [A]_ij. В частности, при i = j выполняются равенства [А]_оj = — [А]_оj = 0.