Виды матриц

Определение 10.1. Матрицей типа (или размера) m×n называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из mn чисел, которые расположены в m строках и n столбцах. Составляющие матрицу числа называют элементами этой матрицы. Как правило, их обозначают строчной буквой с двумя индексами, например а_ij, где i — номер строки (i = 1, m), j — номер столбца (j = 1, n), в которых расположен этот элемент.

Матрицы обозначают

Используют и другие сокращенные обозначения: (а_ij)_l≤i≤m^l≤j≤m или просто (а_ij), если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы i и j. Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: A, В и т.д. Элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце, мы будем также записывать в виде [A]_ij, что удобно при проведении доказательств.

Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты. Например, мы будем встречаться с матрицами, элементами которых будут многочлены или матрицы.

Множество всех числовых матриц типа mx n, элементами которых являются действительные числа, будем обозначать M_mn(R).

Если матрица имеет тип 1×n, т.е. если у матрицы всего одна строка, A = (а₁₁, a₁₂, ..., a_1n), то матрицу называют матрицей-строкой. В обозначениях элементов матрицы индекс строки можно опустить: A = (a₁1, a₂, ..., a_n). Число элементов в матрице-строке называют ее длиной.

Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец:

то ее называют матрицей-столбцом. Число элементов в матрице-столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить:

Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец:

При m = n, т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк, ее называют квадратной порядка n:

а при m ≠ n — прямоугольной. Множество всех квадратных матриц порядка n, элементами которых являются действительные числа, обозначают M_n(R). У квадратных матриц выделяют последовательности элементов a₁₁, a₂₂, ..., a_nn — главную диагональ, и a_n1, a_n-1,2, ..., a_1n — побочную диагональ. Элементы главной диагонали называют диагональными. Понятия диагонального элемента и главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы.

Если в квадратной матрице порядка n все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т. е. если матрица имеет вид

то ее называют диагональной и обозначают diag (a₁₁, ... , a_nn). Если в диагональной матрице порядка n на диагонали стоят единицы, то ее называют единичной и обозначают обычно E или I :

Матрицу типа m×n, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей соответствующего типа и обозначают буквой Θ или цифрой 0.

Часто используют матрицы и других видов, например верхние треугольные матрицы

у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, и нижние треугольные матрицы, у которых, наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю:

Отметим, что диагональные матрицы являются частным случаем как верхних, так и нижних треугольных матриц. Более того, множество диагональных матриц совпадает с пересечением множества верхних треугольных матриц и множества нижних треугольных матриц.

К трехдиагональным матрицам относят такие квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные элементы и соседние с ними в строке или столбце:

Прямоугольные матрицы вида

у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, называют верхними трапециевидными.

Важную роль в дальнейшем изложении играют ступенчатые матрицы (матрицы ступенчатого вида). Так называют матрицу типа mxn, если для любой ее строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю. Следующие матрицы имеют ступенчатый вид: