Неполные уравнения поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка в пространстве в заданной прямоугольной системе координат описывается уравнением с десятью коэффициентами:

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0,

причем среди первых шести коэффициентов, от A до F, должен быть хотя бы один ненулевой.

Мы, как и в случае кривых второго порядка, не будем проводить полную классификацию поверхностей второго порядка, отложив ее до изучения курса линейной алгебры.

В этом разделе мы рассмотрим случай неполного уравнения поверхности второго порядка, т. е. когда в уравнении отсутствуют попарные произведения переменных:

Ax² + By² + Cz² + Gx + Hy + Kz + L = 0. (9.14)

Такое уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса системы координат и, возможно, переобозначения переменных можно преобразовать в одно из канонических уравнений поверхности второго порядка или в уравнение вырожденной поверхности второго порядка, хотя в некоторых особых случаях для упрощения уравнения параллельного переноса недостаточно.

Для преобразования уравнения (9.14) используют выделение полного квадрата по каждому из переменных, входящих в уравнение во второй и первой степени (см. 8.3). При этом возможны три варианта.

1. В первом варианте уравнение (9.14) содержит квадраты всех трех переменных. Выделение полного квадрата по x (при G ≠ 0), по y (при H ≠ 0) и по z (при K ≠ 0) преобразует уравнение (9.14) к виду

A(x — x₀)² + B(y — y₀)² + C (z — z₀)² = L', (9.15)

где

x₀ = -g/2A, y₀ = -H/2B, z₀ = -K/2C, L' = -L + G²/4A + H²/4B + K²/4C.

Пусть в полученном уравнении (9.15) L' ≠ 0. Тогда, введя обозначения a² = |L'| / |A|, b² = |L'| / |B|, c² = |L'| / |C|, придем к смещенному уравнению поверхности второго порядка. В эависимости от знаков коэффициентов уравнения (9.15) это могут быть уравнения эллипсоида

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 1, (9.16)

однополостного гиперболоида

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = 1, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 1, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = -1, (9.17)

двуполостного гиперболоида

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = -1, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = 1, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 1 (9.18)

или мнимого эллипсоида

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = -1

называемого так потому, что уравнение напоминает уравнение эллипсоида, но в отличие от последнего описывает пустое множество.

Если L' = 0, то, вводя обозначения a² = 1/ |A|, b² = 1/ |B|, с² = 1/ |C|, также приходим к смещенному уравнению поверхности второго порядка. В эависимости от знаков коэффициентов уравнения (9.15) это могут быть уравнения конуса

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = 0, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 0, (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² - (z - z₀)²/c² = 0 (9.19)

или точки (x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 0

Замечание 9.1. После параллельного переноса системы координат

x' = x - x₀, y' = y - y₀, z' = z - z₀

в точку O'(x₀; y₀; z₀) уравнение (9.16) и первые в тройках уравнений (9.17)—(9.19) в новых переменных примут канонический вид, в то время как остальные уравнения в (9.17)—(9.19) преобразуются к каноническому виду дополнительным переобозначением переменных в соответствующей координатной плоскости. Это переобозначение переменных важно с теоретической точки зрения, так как позволяет определить тип поверхности, хотя положение этой поверхности в системе координат O'x'y'z' принципиально иное, нежели в канонической системе координат (на рис. 9.18 приведены три варианта положения однополостного гиперболоида). На практике дополнительное изменение системы координат не реализуют и изображают поверхность в системе координат O'x'y'z', получающейся параллельным переносом. Переобозначение переменных рассматривают как чисто алгебраическую операцию, позволяющую выяснить положение поверхности относительно системы координат.

2. Во втором варианте уравнение (9.14) содержит квадраты двух переменных. Здесь выделяются три подварианта:

а) A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0;

б) A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0;

в) A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0.

Эти подварианты сводятся друг к другу переобозначением переменных. Поэтому они дают одни и те же результаты, и нам достаточно рассмотреть лишь один из них, например первый.

Если A ≠ 0, B ≠ 0, а C = 0, то в случае K = 0 третье переменное z вообще не входит в уравнение (9.14), которое в этом случае является уравнением цилиндра второго порядка. Все возникающие ситуации и тип поверхности полностью характеризуются направляющей цилиндра в плоскости xOy (см. 8.3).

В случае K ≠ 0 выделение полного квадрата по х (при G ≠ 0) и по у (при H ≠ 0) преобразует уравнение (9.14) к виду

A(x — x₀)² + B(y — y₀)² = —K (z — z₀), (9.20)

где

x₀ = —G/2A, y₀ = —H/2B, z₀ = L'/K, L'= —L +G²/4A + H²/4B.

Введя обозначения a² = 1/|A|, b² = 1/|B|, p = |K|/2, придем к смещенным уравнениям по верхности второго порядка. В зависимости от знаков коэффициентов в (9.20), это могут быть уравнения или эллиптического параболоида

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 2p(z - z₀), (x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = -2p(z - z₀) (9.21)

или гиперболического параболоида

(x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = 2p(z - z₀), (x - x₀)²/a² - (y - y₀)²/b² = -2p(z - z₀) (9.22)

3. В третьем варианте уравнение (9.14) содержит квадрат только одного переменного. Здесь также возникают три симметричных подварианта (квадрат х, квадрат у, квадрат z). Остановимся на случае A ≠ 0. Если уравнение не содержит или слагаемого с у в первой степени, или такого же слагаемого с z, то реализуется случай цилиндра второго порядка, который сводится к исследованию направляющей цилиндра. Если же в уравнении присутствуют оба указанных слагаемых первой степени, как, например, в уравнении х² + у + 2z = 0, то приведение уравнения к каноническому виду требует поворота системы координат в пространстве.

Пример 9.2. Упростим уравнение 4х² + 9у² + 36z² — 8х — 36у + 72z + 40 = 0 поверхности второго порядка с помощью параллельного переноса прямоугольной системы координат.

Уравнение содержит каждое из трех переменных в первой и во второй степени. Поэтому по каждому переменному выделяем полный квадрат:

4(х² — 2х + 1 — 1) + 9(у² — 4у + 4 — 4) + 36(z² + 2z + 1 — 1) + 40 = 0,

4(х — 1)² + 9(у — 2)² + 36(z + 1)² = 36, (х —1)²/3² +( y — 2)²/2² + (z + 1)2 = 1.

Приходим к смещенному уравнению эллипсоида с центром в точке O'(1; 2; —1) и полуосями a = 3, b = 2, с =1. Соответствующее каноническое уравнение получается после параллельного

переноса системы координат x' = x — 1, y' = y — 2, z' = z + 1 и имеет вид

(x')²/3² + (y')²/2² + (z')² = 1.

Пример 9.3. Выясним, какая поверхность является геометрическим образом уравнения x² — y² + z² — 2x + 4y — 2z — 3 = 0.

Как и в примере 9.2, по каждому переменному выделяем полный квадрат:

(x² — 2x + 1 — 1) — (y² — 4y + 4 — 4) + (z² — 2z + 1 — 1) — 3 = 0,

Приходим к смещенному уравнению однополостного гиперболоида вращения с центром в точке O'(1; 2; 1). После параллельного переноса системы координат в эту точку x' = x — 1, y' = y — 2, z' = z — 1 уравнение принимает вид (x')² — (y')² + (z')² = 1. Это уравнение не является каноническим из-за несоответствия знаков. Осью вращения гиперболоида является ось O'y' новой системы координат (рис. 9.19, а).

Пример 9.4. Выясним, какую поверхность определяет уравнение второго порядка x² — 4z² + 8y + 8z — 12 = 0. В уравнении нет слагаемого x первой степени и слагаемого y второй степени. Полный квадрат выделяем только по переменному z:

x² — 4(z² — 2z + 1 — 1) + 8y — 12 = 0, x² — 4(z — 1)² + 8(y — 8 = 0,

x² — 4(z - 1)² = -8(y — 1), x²/2² - (z - 1)² = -2(y - 1).

Приходим к смещенному уравнению гиперболического параболоида. Выполнив параллельный перенос системы координат x' = x, y' = y — 1, z' = z — 1 в точку O'(0; 1; 1), получим уравнение

x²/2² - (z')² = -2y',

которое может быть преобразовано в каноническое дополнительным переобозначением перемен-ных (рис. 9.19, б).

Замечание 9.2. Для определения вида поверхности и построения ее в новой системе координат (после параллельного переноса) можно использовать метод сечений. Конечно, если, как в примере 9.2, уравнение поверхности имеет канонический вид, то можно воспользоваться приведенным выше выводом канонических уравнений поверхностей второго порядка. Однако в примерах 9.3, 9.4 (см. рис. 9.19, а, б) ситуация сложнее, и использование метода сечений представляется целесообразным для исключения ошибок.