Метод сечений

Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению

Ψ(х, у, z) = 0 (9.10)

часто используют так называемый метод сечений. Он состоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например с плоскостями вида z = с, где параметр с пробегает все действительные значения. Для каждого значения с система уравнений

задает соответствующее пересечение. Критерием принадлежности точки M(х; y; z) этому пересечению являются следующие условия: а) z = с; б) координаты x и у ее проекции на координатную плоскость xOy, т.е. координаты точки N(x; у; 0), удовлетворяют уравнению

Ψ(х, у, c) = 0 (9.12)

Зная эти пересечения, т.е. кривые (9.12), можно представить форму поверхности. Отметим, что указанный "рентген" поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой.

Обычно при исследовании формы поверхности методом сечений используют две точки зрения на уравнение (9.12). Первая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость xOy сечения (9.11). Согласно второй точке зрения предполагают, что в секущей плоскости имеется прямоугольная система координат с началом в точке O' пересечения секущей плоскости с осью Oz и осями, O'x и O'у, которые проектируются на соответствующие оси Ox и Oy системы координат Oxyz. Это позволяет говорить о (9.12) как об уравнении сечения (9.11) в секущей плоскости.

Пример 9.1. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида (9.8) x²/a² + y²/b² = 2z и исследуем его форму методом сечений.

Пересечение этой поверхности с плоскостью z = с описывается уравнением x²/a² + y²/b² = 2c. При с < 0 пересечение пусто, при с = 0 оно совпадает с началом системы координат Oxyz, а при с > 0 представляет собой эллипс x²/(a√(2c))² + y²/(b√(2c))² = 1. Оси этого эллипса с ростом параметра с увеличиваются, и можно представить форму поверхности (рис. 9.16, а). Кстати,

слово "эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сечении имеются эллипсы.

Пересечения этоИ же поверхности как с плоскостью x = с (рис. 9.16, б), так и с плоскостью у = с (рис. 9.16, в) представляют собоq параболы c²/a² + y²/b² = 2z и x²/a² + c²/b² = 2z соответственно. Параболы в каждом из этих семеИств сечений имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу P₁, находящуюся в плоскости у = 0, и аналогичную параболу Р₂ в плоскости x = 0 (рис. 9.17, а). Пусть вторая парабола Р2 перемещается в пространстве так, что:

- вершина параболы Р₂ все время находится на параболе Р₁;

- ось параболы Р₂ параллельна оси параболы Р₁;

- плоскость параболы Р₂ перпендикулярна плоскости параболы Р₁.

Тогда в результате такого перемещения и образуется эллиптический параболоид. При этом роли парабол Р₁ и Р₂ можно поменять, т. е. перемещать параболу Р₁ , используя параболу Р₂ как направляющую. #

Уравнение

x²/a² - y²/b² = 2z (9.13)

отличается от уравнения (9.8) эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность второго порядка. Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение (9.13) — каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Исследуем вид гиперболического параболоида методом сечений. Его пересечения с плоскостями у = с при любом значении с являются параболами:

x²/a² - c²/b² = 2z.

Пересечения с плоскостями x = с тоже при всех значениях с являются параболами:

c²/a² - y²/b² = 2z.

Обозначим через Р₁ параболу, находящуюся в сечении у = 0, а через Р₂ — аналогичную параболу в сечении x = 0. Перемещая, как и выше, параболу Р₂ по параболе Р₁ (см. рис. 9.17, б), получаем седлообразную поверхность гиперболического параболоида.

Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = c при c ≠ 0 являются гипер-болами

x²/a² - y²/b² = 2c.

а при c = 0 — парой пересекающихся прямых

x²/a² - y²/b² = 0.

Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболоида — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.