Эллиптические параболоиды

При вращении параболы вокруг ее оси получаем параболоид вращения (рис. 9.10). Чтобы найти его уравнение, выберем прямоугольную систему координат, направив ось Oz по оси вращения и совместив координатную плоскость xOz с плоскостью параболы. Пусть при этом парабола описывается уравнением х² = 2pz, p > 0. Тогда для получения уравнения поверхности вращения нужно заменить в этом уравнении х на ±√(х² + у²) (см. 9.1): 2pz = х² + у².

Преобразование сжатия параболоида вращения к координатной плоскости xOz с коэффициентом k дает поверхность более общего вида — эллиптический параболоид, уравнением которого будет 2pz = x² + k²y². После переобозначения параметров получаем каноническое уравнение эллиптического параболоида

x²/a² + y²/b² = 2z.

Видим, что эллиптический параболоид является поверхностью второго порядка. При а = b он превращается в параболоид вращения.