Гиперболоиды

Теория

При вращении гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения. Выбор оси вращения влияет на тип гиперболоида. Если осью вращения является действительная ось симметрии гиперболы, то поверхность вращения будет состоять из двух частей (полостей). Это двуполостный гиперболоид вращения (рис. 9.6). При вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси симметрии поверхность будет состоять из одной полости (рис. 9.7). Такую поверхность называют однополостным гиперболоидом вращения.

Для вывода уравнений гиперболоидов вращения расположим прямоугольную систему координат так, чтобы ось вращения, являющаяся осью симметрии гиперболы, совпадала с осью аппликат Oz, а сама гипербола располагалась в координатной плоскости xOz с центром в начале системы координат.

Рис 9.6-9.7 Гиперболоиды

Для случая двуполостного гиперболоида вращения уравнение гиперболы будет иметь вид x2/a2 - z2/b2 = —1. Заменив в нем х на ±√(х2 + у2) (см. 9.1), получим уравнение

x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = -1 (9.4)

В случае однополостного гиперболоида вращения гипербола будет описываться уравнением x2/a2 — z2/b2 = 1. Опять меняем х на радикал ±√(х2 + у2), получаем

x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 - (9.5)

уравнение однополостного гиперболоида вращения.

Гиперболоиды вращения преобразованием сжатия к координатной плоскости xOz превращаются в двуполостный и однополостный гиперболоиды общего вида. При коэффициенте сжатия k их уравнениями будут соответственно

x2/a2 + k2y2/a2 + z2/b2 = -1 и x2/a2 + k2y2/a2 + z2/b2 = 1

После переобозначений параметров эти уравнения преобразуются в каноническое уравнение двуполостного (рис. 9.8)

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = -1 (9.6)

и однополостного (рис. 9.9) гиперболоидов

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 (9.7)

Как видно из уравнений (9.6), (9.7), оба гиперболоида являются поверхностями второго порядка.