Поверхность вращения и преобразование сжатия

Поверхность вращения. Простейшие поверхности в пространстве — это плоскости. Они являются геометрическими образами уравнений первой степени от трех переменных. Другой достаточно простой тип поверхностей составляют поверхности вращения.

Определение 9.1. Поверхность Ω называют поверхностью вращения, если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой L (оси вращения), которые расположены в плоскостях, перпендикулярных L (рис. 9.1).

Уравнение поверхности вращения Ω имеет наиболее простой вид, когда начало O прямо-угольной системы координат лежит на оси вращения, а ось Oz совпадает с ней. Пересечение поверхности Ω с координатной плоскостью xOz — это некоторое множество S (рис. 9.2), вращение которого образует Ω.

Предположим, что множество S в плоскости xOz описывается уравнением φ(x, z) = 0. Рассмотрим произвольную точку M(x; y; z). Она удалена от оси Oz на расстояние d = √(x² + y²). Если точка M лежит на поверхности вращения Ω, то точки M₁(x₁;0; z), M₂(x₂;0; z) с той же аппликатой z, что и M, и абсциссами x₁ = d, x₂ = —d принадлежат множеству S. Поэтому

0 = φ(x₁; z) = φ(d, z) = φ(√(x² + y²), z), 0 = φ(x₂, z) = φ(—d, z) = φ(—√(x² + y²), z)

и условие M ∈ Ω сводится к тому, что координаты точки M удовлетворяют равенству

φ(±√(x² + y²), z) = 0. (9.1)

Уравнение (9.1) и есть уравнение поверхности Ω, которая образована вращением подмножества S = {(x; z): φ(x,z) = 0}, расположенного в координатной плоскости xOz. Из уравнения множества S уравнение (9.1) соответствующей поверхности вращения получается заменой x на ±√(x² + y²).

Преобразование сжатия. Под преобразованием сжатия к координатной плоскости xOz мы понимаем такое преобразование, при котором точка M(x; y; z) смещается в точку M'(x; y/k; z), k > 0. Параметр k называют коэффициентом сжатия. При k > 1 точки пространства, расположенные на одной прямой, перпендикулярной плоскости xOz, в результате такого преобразования сближаются, т.е. преобразование — действительно сжатие. При 0 < k < 1 преобразование фактически является растяжением.

Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz некоторое множество Q задано своим уравнением F(x,y,z) = 0. При преобразовании сжатия к координатной плоскости xOz с коэффициентом k это множество превратится в новое множество Q' с уравнением F(x, ky, z) = 0. Это следует из того, что точка (x; y; z) тогда и только тогда принадлежит множеству Q', когда точка (x; ky; z) принадлежит множеству Q.